雖然我很想支持 google
但是 blogger 對 LaTeX 的支持太差了
以後這個站不會更新
請造訪 http://rtassoh.wordpress.com
2011年11月25日
2011年11月18日
與王偉強有約 - (7) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 $U_\chi(g)$-modules 帶來的好處
Jens Carsten Janzten
本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 $U_\chi(g)$-modules 帶來的好處
2011年11月11日
與王偉強有約 - (6) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
7. Premet Theorem
現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
b) $\chi([m,m])$ = 0
c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$
來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
$p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$
Jens Carsten Janzten
7. Premet Theorem
現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
b) $\chi([m,m])$ = 0
c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$
來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
$p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$
2011年11月10日
2011年11月4日
與王偉強有約 - (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
摘要:
總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構
Jens Carsten Janzten
摘要:
總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構
2011年10月28日
與王偉強有約 - (4) Lectures on Quantum Groups
Lectures on Quantum Groups,
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules
令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素
可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件
(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$
我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules
令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素
可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件
(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$
我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論
2011年10月21日
與王偉強有約 - (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
5. $sl_2(K)$
這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0
這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0
2011年10月14日
與王偉強有約 - (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:
2011年10月13日
中國大三生劉路解出邏輯學二十年難題
剛剛聽萬翔講的
打電話跟小胖確認這個是真消息 xD
不過 google 搜 Seetapun conjecture 搜不到定義...
邏輯學家果然很小眾.......
小孟查到的
http://www.math.berkeley.edu/~slaman/papers/cjs.pdf
Conjecture 2.12 (Seetapun and Slaman [1995]).
新聞連結:
打電話跟小胖確認這個是真消息 xD
不過 google 搜 Seetapun conjecture 搜不到定義...
邏輯學家果然很小眾.......
小孟查到的
http://www.math.berkeley.edu/~slaman/papers/cjs.pdf
Conjecture 2.12 (Seetapun and Slaman [1995]).
Any proof that every computable 2-coloring of $[N]^2$ has an infinite
homogeneous $\text{low}_n$ set should lead to a proof that $RCA_0 + RT_2^2$ is
$\Pi_1^1$-conservative over $RCA_0 + I\Sigma_n$
新聞連結:
2011年10月11日
Galois theory 與 Invariant theory
日前在讀 Reflection groups 的 invariant theory
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group $W\leq GL(V)$ 中包含 -1 iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group $W\leq GL(V)$ 中包含 -1 iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!
2011年10月8日
與王偉強有約 - (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level
今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要
On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu
摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.
類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
character 如下
Thm 1
ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$
也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!
這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)
本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!
On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu
摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.
類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
character 如下
Thm 1
ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$
也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!
這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)
本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!
2011年10月6日
2011年9月26日
Modes of Convergence 整理
之前王振男有教過, 最近需要用到, 所以我再整理後 把他打出來:
我們著眼於以下四種收斂方式:
AU: $f_n \to f$ almost uniformly
AE: $f_n \to f$ almost everywhere
Ｍ: $f_n \to f$ in measure
$L^1$: $f_n \to f$ in mean
我們著眼於以下四種收斂方式:
AU: $f_n \to f$ almost uniformly
AE: $f_n \to f$ almost everywhere
Ｍ: $f_n \to f$ in measure
$L^1$: $f_n \to f$ in mean
2011年9月18日
淺談代數拓樸
1.
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面
代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.
最直接的例子就是 fundamental group.
對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.
第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps
{ $\pi_n(X)$; n = 1,2,3, ... }
雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups
{ $H_n(X)$; n = 0,1,2, ... }
homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups
{ $H^n(X)$; n = 0,1,2, ... }
雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面
代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.
最直接的例子就是 fundamental group.
對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.
第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps
{ $\pi_n(X)$; n = 1,2,3, ... }
雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups
{ $H_n(X)$; n = 0,1,2, ... }
homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups
{ $H^n(X)$; n = 0,1,2, ... }
雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量
2011年9月8日
2011年8月11日
創意時鐘
作者 Append (Append) 看板 Tass
標題 Re: [閒聊] 創意時鐘
時間 Thu Aug 11 21:17:22 2011
───────────────────────────────────────
標題 Re: [閒聊] 創意時鐘
時間 Thu Aug 11 21:17:22 2011
───────────────────────────────────────
※ 引述《Tass (塔矢)》之銘言：
:
: 快推，免得人家說我們看不懂!
: ----
: 說是創意時鐘不是數學時鐘的原因是因為我不覺得這是數學 xD
: 唯一"數學"的是 1,
: 但是這個很不 standard, 我查了資料才知道 \o\
: 1 - Legendre's constant is a mathematical constant occurring in a formula
: conjectured by Adrien-Marie Legendre to capture the asymptotic behavior of
: the prime-counting function. Its value is now known to be exactly 1.
: 比起來, 之前看過一個時鐘用 四個 9 表示 1~12 的比較有創意
2011年7月29日
Flowering branch platoon
今天是研究助理最後一天上班
於是我中午就去吃厚讚牛排來慶祝 (xD)
結果發現菜單上寫著
魷魚花枝排 Flowering branch platoon
....點多到我不知從何吐槽起
於是我中午就去吃厚讚牛排來慶祝 (xD)
結果發現菜單上寫著
魷魚花枝排 Flowering branch platoon
....點多到我不知從何吐槽起
2011年7月25日
台大學生/助理選送 UCB, 哈佛 讀 Ph D
http://ord.ntu.edu.tw/news/news.asp
好像是今年依照
「中華民國頂尖大學策略聯盟選送優秀人才赴國外頂尖大學修讀博士學位辦法」
及「國立臺灣大學遴選優秀人才赴國外頂尖大學攻讀博士學位實施要點」
新弄出來的東西 @@
不過要上面推薦就是了
好像是今年依照
「中華民國頂尖大學策略聯盟選送優秀人才赴國外頂尖大學修讀博士學位辦法」
及「國立臺灣大學遴選優秀人才赴國外頂尖大學攻讀博士學位實施要點」
新弄出來的東西 @@
不過要上面推薦就是了
2011年6月23日
2011年6月20日
2011年6月3日
亞太數學季刊
http://www.taiwanmathsoc.org.tw/webpage/news/APMN_V1_N2_Electronic.pdf
本期 highlights "Ramanujan"
他是一個印度天才, 沒有受過高等數學訓練, 但是他花了一輩子在和數字培養感情
不喜歡寫證明, 但能用眼睛看出數字背後的神奇,
可以寫下一堆創意無限, 很難相信人可以創造出來的誇張等式
範例:
2011年6月1日
Simple Group Criterion
因為頗多題考古題考證明 any group G of order n is not simple
所以我整理了部分技巧, 如下
http://tinyurl.com/44mjwzb
關鍵在 Sylow 定理的 corollary:
$n_p = 1$ <=> 存在 normal subgroup H in G
其中 $n_p$ = # p-Sylow subgroups
所以我們的攻略如下:
1. 列出所有可能的 $n_p$, 看能不能用 算 # non-id elements 得到矛盾
2. 不行的話, 用 $|G|~ | n_p!$ 排除掉太小的 $n_p$
3. 不行的話, 用 normalizers 和 abelian groups 的性質得到矛盾
所以我整理了部分技巧, 如下
http://tinyurl.com/44mjwzb
關鍵在 Sylow 定理的 corollary:
$n_p = 1$ <=> 存在 normal subgroup H in G
其中 $n_p$ = # p-Sylow subgroups
所以我們的攻略如下:
1. 列出所有可能的 $n_p$, 看能不能用 算 # non-id elements 得到矛盾
2. 不行的話, 用 $|G|~ | n_p!$ 排除掉太小的 $n_p$
3. 不行的話, 用 normalizers 和 abelian groups 的性質得到矛盾
2011年5月26日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 11)
http://tinyurl.com/3zshabv
Chapter 11 - Tilting Module
11.1 ~ 11.3
構造有點辛苦, 要對 translation functor 很熟
才能證明 indecomposable tilting modules 可以用 highest weight 去 index
並且這樣的構造唯一
所以 M is a tilting module <=> M is self-dual and has Verma flags
...我開始理解為什麼有人要研究 self-dual projective cover 了
Chapter 11 - Tilting Module
11.1 ~ 11.3
構造有點辛苦, 要對 translation functor 很熟
才能證明 indecomposable tilting modules 可以用 highest weight 去 index
並且這樣的構造唯一
所以 M is a tilting module <=> M is self-dual and has Verma flags
...我開始理解為什麼有人要研究 self-dual projective cover 了
2011年5月17日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 10)
http://tinyurl.com/3vf9xqz
Chp 10 Projective Modules
簡介 projective functor 的概念如下:
簡單的講就是要通透 tensoring with f.d. modules over $\mathbb{C}$
(以下以 $\otimes$ 表示 tensoring over $\mathbb{C}$)
Chp 10 Projective Modules
簡介 projective functor 的概念如下:
簡單的講就是要通透 tensoring with f.d. modules over $\mathbb{C}$
(以下以 $\otimes$ 表示 tensoring over $\mathbb{C}$)
Projective Functors
這篇簡單介紹 Bernstein and Gelfand 的 paper:
Tensor Products of Finite and Infinite Dimensional Representations of Semisimple Lie Algebras
http://tinyurl.com/68aj3cc
Tensor Products of Finite and Infinite Dimensional Representations of Semisimple Lie Algebras
http://tinyurl.com/68aj3cc
2011年5月6日
最差勁的 notation
By Richard Stanley
There is a famous anecdote about Barry Mazur coming up with the worst
notation possible at a seminar talk in order to annoy Serge Lang.
Mazur defined $\Xi$ to be a complex number and considered
the quotient of the conjugate of $\overline{\Xi}$ and $\Xi$:
$\frac{\overline{\Xi}}{\Xi}$
This looks even better on a blackboard since$\Xi$ is drawn as three horizonal
lines.
史上最差的符號, 是 Barry Mazur 在一次 seminar 中,
為了激怒(?) Serge Lang 而寫出來的
令 $\Xi$ 為一個複數, 就可以寫下他的共軛複數 $\overline{\Xi}$ 就可以寫下 後者除以前者:
$\frac{\overline{\Xi}}{\Xi}$
There is a famous anecdote about Barry Mazur coming up with the worst
notation possible at a seminar talk in order to annoy Serge Lang.
Mazur defined $\Xi$ to be a complex number and considered
the quotient of the conjugate of $\overline{\Xi}$ and $\Xi$:
$\frac{\overline{\Xi}}{\Xi}$
This looks even better on a blackboard since$\Xi$ is drawn as three horizonal
lines.
史上最差的符號, 是 Barry Mazur 在一次 seminar 中,
為了激怒(?) Serge Lang 而寫出來的
令 $\Xi$ 為一個複數, 就可以寫下他的共軛複數 $\overline{\Xi}$ 就可以寫下 後者除以前者:
$\frac{\overline{\Xi}}{\Xi}$
2011年5月3日
2011年4月29日
推薦一本書
Group Characters, Symmetric Functions, and the Hecke Algebra
當初只是為了找 Hecke algebra 的相關資料借了這本書
發現他講群表現的思路很好 (推薦第二次以後看)
這是一本很薄的書, 許多證明省略, 需要自己補起來, 但好處就是很順暢
上面的連結有 ams 提供的完整下載
當初只是為了找 Hecke algebra 的相關資料借了這本書
發現他講群表現的思路很好 (推薦第二次以後看)
這是一本很薄的書, 許多證明省略, 需要自己補起來, 但好處就是很順暢
上面的連結有 ams 提供的完整下載
2011年4月26日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 9)
Chp 9 Parabolic Category Op
對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個
固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:
對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個
固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:
2011年4月20日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 8)
Chp 8 Kazhdan-Lusztig Theory
這章因為預備知識太多, 省略困難的幾何證明
但是也大略給了定義, 定理敘述和例子, 包含:
Hecke Algebras
KL conjectures
Schbert Varieties
Vogan's conjecture
KLV polynomials
Jantzen conjecture
Loewy filtrations
這章因為預備知識太多, 省略困難的幾何證明
但是也大略給了定義, 定理敘述和例子, 包含:
Hecke Algebras
KL conjectures
Schbert Varieties
Vogan's conjecture
KLV polynomials
Jantzen conjecture
Loewy filtrations
2011年4月6日
範疇論 (category) 簡介
Category 簡介:
古典代數中, 我們看代數"結構"過度著重於他的"物件"
譬如說我們講 module theory, 心中想到的是一顆一顆的 module
但是愈來愈受到重視的是 "物件間的保結構映射", 通稱 morphisms
1. 比方說, 最簡單的 non-trivial 結構應該就是 向量空間了,
它身為物件簡單到不能再簡單了,
但是它的 morphisms, 也就是 linear maps (matrices) 卻要花上好幾門課探討
2. 從另外一個方向看, 研究 modules 的人把問題 reduce,
做完了所有 irreducible modules 的分類, 可喜可賀.
但是只有"夠好"的 狀況下才可以說任何 module 都是這些最小單位的 direct sum
換成 homological algebra 的語言, 就是 extensions always split
在 non-split extensions 的情況, 就要考慮 $\text{Ext}(A,B)$ 的 dimension,
以決定有幾"種"方式把 irr. module 兜回去
而 $\text{Ext}(A,B)$ 可被證明等價於 $\text{Hom}$ 的 1 次 derived functor
所以我們必須好好研究 $\text{Hom}$, 也就是物件的 morphisms.
3. 有些人想要把這種概念抽象化,
把所有 (objects, morphisms) 做分類,
但是要把這個"一樣"說請楚要一番功夫,
要先定義 category, 才能定義 functor,
才能把這個"一樣", 也就是 natural transformation 講清楚
古典代數中, 我們看代數"結構"過度著重於他的"物件"
譬如說我們講 module theory, 心中想到的是一顆一顆的 module
但是愈來愈受到重視的是 "物件間的保結構映射", 通稱 morphisms
1. 比方說, 最簡單的 non-trivial 結構應該就是 向量空間了,
它身為物件簡單到不能再簡單了,
但是它的 morphisms, 也就是 linear maps (matrices) 卻要花上好幾門課探討
2. 從另外一個方向看, 研究 modules 的人把問題 reduce,
做完了所有 irreducible modules 的分類, 可喜可賀.
但是只有"夠好"的 狀況下才可以說任何 module 都是這些最小單位的 direct sum
換成 homological algebra 的語言, 就是 extensions always split
在 non-split extensions 的情況, 就要考慮 $\text{Ext}(A,B)$ 的 dimension,
以決定有幾"種"方式把 irr. module 兜回去
而 $\text{Ext}(A,B)$ 可被證明等價於 $\text{Hom}$ 的 1 次 derived functor
所以我們必須好好研究 $\text{Hom}$, 也就是物件的 morphisms.
3. 有些人想要把這種概念抽象化,
把所有 (objects, morphisms) 做分類,
但是要把這個"一樣"說請楚要一番功夫,
要先定義 category, 才能定義 functor,
才能把這個"一樣", 也就是 natural transformation 講清楚
2011年3月29日
Milnor 獲得 2011 Abel 獎
http://www.abelprisen.no/en/
獎金 6M NOK, 大概是 三千萬新台幣
----
The Abel Prize awarded to John Milnor, Stony Brook University, NY
The Norwegian Academy of Science and Letters has decided to award the Abel
Prize for 2011 to John Milnor, Institute for Mathematical Sciences, Stony
Brook University, New York “for pioneering discoveries in topology, geometry
and algebra”. The President of the Norwegian Academy of Science and Letters,
yvind sterud, announced the winner of this year’s Abel Prize at the
Academy in Oslo today, 23 March.
獎金 6M NOK, 大概是 三千萬新台幣
----
The Abel Prize awarded to John Milnor, Stony Brook University, NY
The Norwegian Academy of Science and Letters has decided to award the Abel
Prize for 2011 to John Milnor, Institute for Mathematical Sciences, Stony
Brook University, New York “for pioneering discoveries in topology, geometry
and algebra”. The President of the Norwegian Academy of Science and Letters,
yvind sterud, announced the winner of this year’s Abel Prize at the
Academy in Oslo today, 23 March.
2011年3月28日
2011年3月24日
2011年3月17日
Finite Simple Group of Order Two
這首歌可以拿來出考卷 xD
(1) path
(2) smooth path
(3) continuous path
能否舉出一個反例, 使一個 path is not smooth nor continuous?
※ 引述《cielocot (小島)》之銘言：1. 解釋以下名詞: [8%]
: http://www.youtube.com/watch?fmt=18&gl=TW&hl=zh-TW&v=UTby_e4-Rhg
: The path of love is never smooth
: But mine's continuous for you
(1) path
(2) smooth path
(3) continuous path
能否舉出一個反例, 使一個 path is not smooth nor continuous?
2011年3月15日
2011年3月13日
怎麼樣知道自己唱的是不是泛音?
一個很電機系的辦法就是去錄音然後看頻譜
之前修尤達的 DSP 時獲得一個小巧的軟體可以讓平凡人也會做這件事
那就是 Wavesurfer ! http://tinyurl.com/4j647hj
簡單使用說明 http://tinyurl.com/4puyvb6
---
總之, 你可以自己錄錄看聲音,
然後看看頻譜上究竟有沒有出現高頻的跑動
就知道你唱出來的究竟是泛音還是噪音了 哈哈
之前修尤達的 DSP 時獲得一個小巧的軟體可以讓平凡人也會做這件事
那就是 Wavesurfer ! http://tinyurl.com/4j647hj
簡單使用說明 http://tinyurl.com/4puyvb6
---
總之, 你可以自己錄錄看聲音,
然後看看頻譜上究竟有沒有出現高頻的跑動
就知道你唱出來的究竟是泛音還是噪音了 哈哈
2011年3月1日
2011年2月23日
證明無用論
by 張鎮華
... 經過很長的一段掙扎，我不得不承認「證明無用論」
我所以如此說，並非不相信那些證明，
只是深深的覺得，在我們真正瞭解問題本質，也就是，在我們能嚴密證明之前，
我們必已正式或非正式的思索過它，得到差不多足夠的證據，
至於證明本身，有時侯就像結婚證書一樣，用來使人更相信事情的真實性罷了。
原文: http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_09/index.html
xDDDDD
... 經過很長的一段掙扎，我不得不承認「證明無用論」
我所以如此說，並非不相信那些證明，
只是深深的覺得，在我們真正瞭解問題本質，也就是，在我們能嚴密證明之前，
我們必已正式或非正式的思索過它，得到差不多足夠的證據，
至於證明本身，有時侯就像結婚證書一樣，用來使人更相信事情的真實性罷了。
原文: http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_09/index.html
xDDDDD
2011年2月22日
2011年2月18日
2011年2月17日
2011年2月15日
2011年2月9日
[轉錄] 數學教育與騎腳踏車 - 翁秉仁
翁秉仁（台大數學系）
這些年來的小學數學教育改革，逐漸在淡化計算的重要性，美其名為強調數學的理解與生
活的應用。每當教學時數不夠時，就要削減枯燥的計算與相關練習的份量。當小朋友無法
負荷計算時，則藉新科技的威名，要學生使用電算器。這些說法都有局部的道理，但是整
個拼湊起來，就是有點問題。本文主要是想說明，這樣的作法，並沒有辦法培養學生的數
學能力，進行真正實用的解題應用。其關鍵就在於整塊拼圖板上，少了國小數學教育最關
鍵的一塊拼圖─計算能力。
小朋友怎麼學騎腳踏車
觀察小朋友學騎腳踏車，對（數學）教育工作者是一個很有啟發性的過程：
這些年來的小學數學教育改革，逐漸在淡化計算的重要性，美其名為強調數學的理解與生
活的應用。每當教學時數不夠時，就要削減枯燥的計算與相關練習的份量。當小朋友無法
負荷計算時，則藉新科技的威名，要學生使用電算器。這些說法都有局部的道理，但是整
個拼湊起來，就是有點問題。本文主要是想說明，這樣的作法，並沒有辦法培養學生的數
學能力，進行真正實用的解題應用。其關鍵就在於整塊拼圖板上，少了國小數學教育最關
鍵的一塊拼圖─計算能力。
小朋友怎麼學騎腳踏車
觀察小朋友學騎腳踏車，對（數學）教育工作者是一個很有啟發性的過程：
半單李代數表現導論
我整理了 Humphreys 和其他參考資料 想寫一篇 半單李代數表現論的講義
http://tinyurl.com/4d7wtb8
目前還差 translation functor 的部分
以下是中文序: 什麼是"李代數表現論"
http://tinyurl.com/4d7wtb8
目前還差 translation functor 的部分
以下是中文序: 什麼是"李代數表現論"
2011年1月31日
丘成桐大學數學競賽試題
這是什麼出題啊
只是弱化並且不平衡的 qualify 吧
我沒有看到多少有意思的能有巧思的東西
說好聽一點是要唸下去的真功夫
但是說難聽一點 許多題是研究所課程的基礎習題
再者 當初看到他代數綱要裡有
combinatorics [TBA]
果然是寫開心的 哈哈
只是弱化並且不平衡的 qualify 吧
我沒有看到多少有意思的能有巧思的東西
說好聽一點是要唸下去的真功夫
但是說難聽一點 許多題是研究所課程的基礎習題
再者 當初看到他代數綱要裡有
combinatorics [TBA]
果然是寫開心的 哈哈
2011年1月18日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 5)
http://tinyurl.com/4ak6m2w
5.1 ~ 5.7 BGG Theorem
Jantzen Filtration and its Application
5.8 ~ 5.9 Determinant Formula for Shapovalov Matrices
證明了紮紮實實的大定理
5.1 ~ 5.7 BGG Theorem
Jantzen Filtration and its Application
5.8 ~ 5.9 Determinant Formula for Shapovalov Matrices
證明了紮紮實實的大定理
2011年1月17日
2011年1月13日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (4.8 ~ 4.12)
Chapter 4 Highest Weight Modules I
http://tinyurl.com/4t8sexd
http://tinyurl.com/4t8sexd
訂閱：
文章 (Atom)