數學家祖譜

這個網站 http://www.genealogy.ams.org/
建立了數學家 PhD 師承的關係
我剛剛意外的發現
我是 Serge Lang (和 Artin )的徒孫啊! (驚)

我 → 教官 → 葉教授 → Schanuel → Lang → Artin

再追下去 不得了
我是 Gauss 的徒孫

一路下去, 祖譜的源頭是 Leibniz 。

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慎終追遠啊

Direct sum 病

這是我剛剛覺得自己有的盲點
作代數結構的解構時
很喜歡把東西寫成 direct sum
總覺得 ⊕ 一打出來 自己就好像都懂了

但是唸李代數的時候要很小心
因為你要完完全全搞清楚這是 direct sum of what

Review on Harish-Chandra Theorem (1)

之前太著重於 Harish-Chandra 定理的證明
所以對於他的應用 有點沒那麼通透

[自問自答] K-topology

我剛剛聽到有人在討論 K theory
突然靈光一閃 回想起很久以前念到的 K topology
想說 不會這兩個東西可以經由奇怪的關連聯在一起吧
(可是這個定義感覺沒有什麼關係啊...)

剛剛去查 wiki
呃 好像發現他們真的沒有關係
只是拓樸學家用來構造反例的產物

如:

3. (R, T) is Hausdorff but not regular.
    表示 T2 < T3

4. Surprisingly enough, (R, T) is a connected topological space.
   However, (R, T) is not path connected
    表示 雖然 p.conn. => conn. 但反過來不對

5. Note also that (R, T) is not locally path connected.
   It is also not locally connected at {0},
   but it is locally connected everywhere else

6. The closed interval [0,1] is not compact as a subspace of (R, T)
   since it is not even limit point compact

7. In fact, no subspace of (R, T) containing K can be compact.
   If A were a subspace of (R, T) containing K,
      K would have no limit point in A
   so that A can not be limit point compact.
   Therefore, A cannot be compact

8. The quotient space of (R, T) obtained by collapsing K to a point
   is not Hausdorff.

9. 此外 (R, T) 還是 locally metrizable, 即使他不 metrizable.

以後如果是我出代數作業...

我想要出一些詭異的作業 (這種當然是自己改)
如:

  用 naive 的方法嘗試證明某大定理 (ex: 有限交換群基本定理)
  (1) 將你的想法與嘗試以易讀的風格寫下:
        (a) 選定一個 trivial 的最簡例子嘗試     (10%)
        (b) 選定一個 nontrivial 的最簡例子嘗試  (20%)
        (c) 對於 general 的狀況嘗試             (20%)
  (2) 描述這個方法遭遇到的困難                  (30%)
  (3) 分析、猜測為什麼會有這樣的困難            (20%)
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  給分判例:
  (A) 抄書上證明 = 50 %
        嘛, 恭喜你拿到了 (1) 的分數, 至少你還有先讀過

  (B) 硬爆, 爆到某個程度寫不下去了 並且分析 = 50~100%
        ya ya, 這就是我想要的, 不過要看爆了多少 和分析的好不好

  (C) 把定義寫出來, 然後說"我不會了" = 0%
        呃。

  (D) 硬爆, 爆到某個程度.... 就證出來了 = 100%
        嗯... 可能這個定理對你不是問題...
-----------------

我最近受程舜仁影響
覺得代數厲害不應該是 "聽到敘述後 從記憶庫裡找出妙解後背出"
而是你可以瞬間從 naive 或定義出發下去看
然後會清楚這會遇到什麼障礙 要用什麼定理

還是它只是證明精巧 但這個精巧只是用來讓證明不囉嗦而已
本質上並沒有什麼突破

有時候我們會遇到一些敘述
把我們心中的定理稍微改了一下
如果心中的 image 是清楚的
那麼就很容易知道這個新敘述是紙老虎還是天變地動的難題

Hom, Ext, Duality Functor in the Category O

Chapter 3: Category O: Methods
http://tinyurl.com/28dlyft
Hom and Ext
Duality in O

目前也只有完成前兩節
因為我之前對於 homological algebra 沒有那麼熟練
所以花了許多功夫在建立對 Ext functor 的了解

再來的 restricted dual functor 也是很新的概念
一般 homological algebra 書中的 dual functor
都是 vector space 的 dual functor
老老實實的 不會給你出什麼亂子

但是這邊我們要看 dual Lie module 的 dual functor
還因為傳統的 dual module 範疇太大不好處理
所以我們要引入一個 transpose antiautomorphism 來產生 restricted dual module

所以這本質上是個紮紮實實的李代數問題
雖然我現在處理的是 abelian category 中的 exact functor
我們幾乎很少用到同調代數中 dual functor 的性質
翻同調代數的書也不太有用
因為我們就是要證明
哪些 Category O 中的 modules A,B 不存在 notrivial extension

也就是要證明
任給 exact seq 0→B→E→A→0, 都會 splits
但幾乎都是用李代數的方法來證明 E = A⊕B

不過這樣也好
把 Humphreys 省略很多的證明老老實實的寫下來
我覺得我和 highest weight module 更熟了 xD

Algebra Ref

http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/index.html

很酷的 outline
從 Modules over ring 開始教代數
然後直接講 Asc/Desc Chain cond 後講 KRS thm

自然接下來就是 Wedderburn-Artin Thm
之後接 Hilbert Basis thm, category

最後才來講 group action, grp rep, 和 field theory


他說:

"我最近用 Hungerford 當課本, 因為前幾年的學生對 Lang 抱怨連連, 但是我不會再用
Hungerford了, 坦白說, 我覺得它爛透了(the book sucks!)"

xDDD

Classification of Group of order p^3

剛剛想了一下 non abelian $G$ of order $p^3$ 的分類證明動機

問題一:

限制 p 是奇質數可以得到兩類群
但是 p 是偶質數的時候也有兩類群 D8 和 Q8 啊
仔細觀察 發現 奇 p 時造出的群硬代 p=2 有一個是 D8 (但是造不出 Q8)
那麼 Q8 跑哪裡去了?

問題二:

討論 $\begin{array}{cccc}\phi:&G&\rightarrow&Z(G)\\&g&\mapsto&g^p\end{array}$ 是 group homomorphism if p>2 好麻煩啊

一定要這樣搞嗎?


我意外的發現這兩個問題的答案都追溯到同一個源頭, 來討論一下:

Highest Weight Modules

程舜仁說 Jantzen 有一本書寫得非常好 "大家都很想看"
這是什麼意思呢?

那本書的標題是

" Moduln mit einem höchsten Gewicht"

Modules of a highest weight

糟了啊 是還沒翻成英文的德文書 啊
剛剛看到數學系圖有
去借借看好了...