1.
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面
代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.
最直接的例子就是 fundamental group.
對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.
第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps
{ $\pi_n(X)$; n = 1,2,3, ... }
雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups
{ $H_n(X)$; n = 0,1,2, ... }
homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups
{ $H^n(X)$; n = 0,1,2, ... }
雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量
2010年10月21日
[自問自答] K-topology
我剛剛聽到有人在討論 K theory
突然靈光一閃 回想起很久以前念到的 K topology
想說 不會這兩個東西可以經由奇怪的關連聯在一起吧
(可是這個定義感覺沒有什麼關係啊...)
剛剛去查 wiki
呃 好像發現他們真的沒有關係
只是拓樸學家用來構造反例的產物
如:
3. (R, T) is Hausdorff but not regular.
表示 T2 < T3
4. Surprisingly enough, (R, T) is a connected topological space.
However, (R, T) is not path connected
表示 雖然 p.conn. => conn. 但反過來不對
5. Note also that (R, T) is not locally path connected.
It is also not locally connected at {0},
but it is locally connected everywhere else
6. The closed interval [0,1] is not compact as a subspace of (R, T)
since it is not even limit point compact
7. In fact, no subspace of (R, T) containing K can be compact.
If A were a subspace of (R, T) containing K,
K would have no limit point in A
so that A can not be limit point compact.
Therefore, A cannot be compact
8. The quotient space of (R, T) obtained by collapsing K to a point
is not Hausdorff.
9. 此外 (R, T) 還是 locally metrizable, 即使他不 metrizable.
突然靈光一閃 回想起很久以前念到的 K topology
想說 不會這兩個東西可以經由奇怪的關連聯在一起吧
(可是這個定義感覺沒有什麼關係啊...)
剛剛去查 wiki
呃 好像發現他們真的沒有關係
只是拓樸學家用來構造反例的產物
如:
3. (R, T) is Hausdorff but not regular.
表示 T2 < T3
4. Surprisingly enough, (R, T) is a connected topological space.
However, (R, T) is not path connected
表示 雖然 p.conn. => conn. 但反過來不對
5. Note also that (R, T) is not locally path connected.
It is also not locally connected at {0},
but it is locally connected everywhere else
6. The closed interval [0,1] is not compact as a subspace of (R, T)
since it is not even limit point compact
7. In fact, no subspace of (R, T) containing K can be compact.
If A were a subspace of (R, T) containing K,
K would have no limit point in A
so that A can not be limit point compact.
Therefore, A cannot be compact
8. The quotient space of (R, T) obtained by collapsing K to a point
is not Hausdorff.
9. 此外 (R, T) 還是 locally metrizable, 即使他不 metrizable.
2010年4月3日
[Notes] General Topology
Textbook: Topology 2e, Munkres
這是我自己讀拓樸學的筆記，我自己覺得整理得可以作為參考書了 \o\。
原書中每一章節會介紹一個主題，一個定理接一個定理證，可是我筆記時綜整一個章節的性質(我認為這些要叫 propositions/properties比較恰當)寫在一起，證明後附，因為拓樸學的 prop 很多都是定義寫出來兜一兜就會對的，把注意放在證明內容其實有點失焦，重要的是要熟知什麼樣的空間有什麼性質。
承上，最後有個連結 Review of the Basis
考慮19個「拓樸空間可以有的性質」，對每個性質 回答 20 個問題，
共 380 個小題之中，只有兩題仍是 open problem 作不出來。
真正的算過一遍，就對一般拓樸自我感覺良好通透! 可以去試試看
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