Galois theory 與 Invariant theory

日前在讀 Reflection groups 的 invariant theory
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group $W\leq GL(V)$ 中包含 -1  iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!

Simple Group Criterion

因為頗多題考古題考證明 any group G of order n is not simple
所以我整理了部分技巧, 如下

http://tinyurl.com/44mjwzb

關鍵在 Sylow 定理的 corollary:

        $n_p = 1$ <=> 存在 normal subgroup H in G
        其中 $n_p$ = # p-Sylow subgroups

所以我們的攻略如下:

1. 列出所有可能的 $n_p$, 看能不能用 算 # non-id elements 得到矛盾
2. 不行的話, 用 $|G|~ | n_p!$ 排除掉太小的 $n_p$
3. 不行的話, 用 normalizers 和 abelian groups 的性質得到矛盾

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 11)

http://tinyurl.com/3zshabv

Chapter 11 - Tilting Module

11.1 ~ 11.3
構造有點辛苦, 要對 translation functor 很熟
才能證明 indecomposable tilting modules 可以用 highest weight 去 index
並且這樣的構造唯一

所以 M is a tilting module <=> M is self-dual and has Verma flags

...我開始理解為什麼有人要研究 self-dual projective cover 了

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 10)

http://tinyurl.com/3vf9xqz

Chp 10 Projective Modules

簡介 projective functor 的概念如下:
簡單的講就是要通透 tensoring with f.d. modules over $\mathbb{C}$
(以下以 $\otimes$  表示 tensoring over $\mathbb{C}$)

Projective Functors

這篇簡單介紹 Bernstein and Gelfand 的 paper:

Tensor Products of Finite and Infinite Dimensional Representations of Semisimple Lie Algebras
http://tinyurl.com/68aj3cc

剛剛做考古題

看到一題很可愛的題目,
敘述可以寫得很嚇人, 但是做法意外的 elementary!
我決定以後開代導的時候要拿這個當 cyclic group 的例子 xD

環論

今天李白飛講了一些歷史 觀點很清晰 特此為記

1. 我們研究環 會分成 交換環 與 非交換環
   交換環在代數幾何中非常重要
   非交換環也有相當多的例子 如矩陣環  $M_n(K)$, 各種 algebras... 等

   這裡的 algebra 不是課名, 是一種代數結構
   粗淺的說, 一個 algebra 同時是一個 ring 和一個 vector space
   換句話說, 一個 algebra $A$ 就是一個 ring $A$, 配上向量空間的結構 $K \times A \rightarrow A$

   為什麼我們要研究 algebra? 為什麼要這樣定?

sl(2,C) 中的 nontrivial extension

這又是一個 Humphreys 沒講清楚的地方了

本篇目標是要證

g = sl(2,C) 中

看 positive integral weight λ 和他的 linked pair μ = -λ-2

L(μ) 的 projective cover P(μ) is self-dual

即 P(μ) = Q(μ)

Homological Algebra Used in Lie Algebra Representation Theory

禮拜五學長問了程舜仁使用 homological algebra 來處理李代數表現論的動機:
我大略簡記一下 有誤麻煩請糾正我 @@

Algebra Ref

http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/index.html

很酷的 outline
從 Modules over ring 開始教代數
然後直接講 Asc/Desc Chain cond 後講 KRS thm

自然接下來就是 Wedderburn-Artin Thm
之後接 Hilbert Basis thm, category

最後才來講 group action, grp rep, 和 field theory


他說:

"我最近用 Hungerford 當課本, 因為前幾年的學生對 Lang 抱怨連連, 但是我不會再用
Hungerford了, 坦白說, 我覺得它爛透了(the book sucks!)"

xDDD

Classification of Group of order p^3

剛剛想了一下 non abelian $G$ of order $p^3$ 的分類證明動機

問題一:

限制 p 是奇質數可以得到兩類群
但是 p 是偶質數的時候也有兩類群 D8 和 Q8 啊
仔細觀察 發現 奇 p 時造出的群硬代 p=2 有一個是 D8 (但是造不出 Q8)
那麼 Q8 跑哪裡去了?

問題二:

討論 $\begin{array}{cccc}\phi:&G&\rightarrow&Z(G)\\&g&\mapsto&g^p\end{array}$ 是 group homomorphism if p>2 好麻煩啊

一定要這樣搞嗎?


我意外的發現這兩個問題的答案都追溯到同一個源頭, 來討論一下:

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the Category O

 Author: Humphreys 

 在程老師欽點下開始念這本書，Humphreys 的書以難讀出名，於是我試圖將這本書裡面的敘述寫成較有系統的形式並且補完一些預備知識，

目前進度: Chp 2
持續更新

[Notes] Representation of Finite and Compact Groups

Textbook: Representations of Finite and Compact Groups, Simon

這是康明昌老師的開課用書，確實如他所述、這本書的問題很多，常常會有符號上的錯誤，也不適合第一次唸群表現的人讀。

但是這本書由很高的角度來看群表現這件事，多半的入門書會花很多精力在處理實例(譬如說對稱群)，一個接一個介紹那些 representation，但不系統，雖然說這本書也沒有很系統的把這些講好，但是它提供了一個觀點試圖這樣作(待我好好整理整理...)

之後待補上 Sagan 的群表現筆記，那個比較適合第一次學的人看。

[Notes] Introduction to Lie Algebra

Textbook: Introduction to Lie Algebra Erdmann & Wildon

這是林紹雄老師開李代數的課本，我沒有上他的課，不過我自己拿這本書來唸。這本書很新，2005年才出版，我認為非常適合入門，章節分段適中，習題難度恰當(我幾乎全消了 不過解答沒有掃描就是了 xD)，核心是在介紹半單李代數(semisimple Lie algebra)的結構，非常美妙。

不過無限維李代數和李代數和李群之間的關係這本書變沒有提及，等我之後唸到了再補上。

代數發展簡史

＊在十九世紀以前，「代數」即「算術」，Algebra 源自「將等號一端負項變號移到另 一端」，數學家爭相較競誰能又快又好的解方程式。

＊而在十九世紀時所有的數學研究都導向一個逐漸明朗的核心，所有美妙道理的根源 — 「群(groups)」:

Algorithm 和 Algebra 的由來

1. algorithm

出自代數之父 波斯數學家 花剌子密 (al-Khwarizmi)
他於西元 825 年 著有 《al-jabr w al-muqabalah》 一文

其拉丁文翻譯是

《Algoritmi, On the numbers of the Indians》
  ^^^^^^^^^
花剌子密音譯

但是大家卻誤理解成
《Algoritmi on the numbers of the Indians》

便把 Algoritmi 這個字作為"演算法"來理解 傳了下去
也就是說
「花剌子密」這個名字作為「演算法」流傳千年

2. algebra

這本書 《al-jabr w al-muqabalah》
直譯是 al-jabr 和 al-muqabalah

前者代表 "將等號一邊的負項移到另一邊 再改變正負號"
後者代表 "將等號兩端相同大小的值消掉"

這是我們解方程時最基礎的兩步
而 al-jabr 就成了我們今天說的 Algebra

參考資料:

Israel Kleiner, A History of Abstract Algebra

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        數學家是把咖啡加工成定理的機器
                                        也是把定理加工成夢想的機器



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