Classification of Group of order p^3

剛剛想了一下 non abelian $G$ of order $p^3$ 的分類證明動機

問題一:

限制 p 是奇質數可以得到兩類群
但是 p 是偶質數的時候也有兩類群 D8 和 Q8 啊
仔細觀察 發現 奇 p 時造出的群硬代 p=2 有一個是 D8 (但是造不出 Q8)
那麼 Q8 跑哪裡去了?

問題二:

討論 $\begin{array}{cccc}\phi:&G&\rightarrow&Z(G)\\&g&\mapsto&g^p\end{array}$ 是 group homomorphism if p>2 好麻煩啊

一定要這樣搞嗎?


我意外的發現這兩個問題的答案都追溯到同一個源頭, 來討論一下:



1. 我們的目的是 寫出 G = HK, 便可以將 G 視為 semidirect product 表示
   因為 G 中元素 order 只可能是 1,$p$,$p^2$
   很容易分成兩個 case:

   (a) 所有非單元的元素 ord 都是 p
   (b) 存在一個元素 ord = $p^2$

2. 若是 (a) 的情況:
   p = 2 就得到 G is abelian 矛盾
   p > 2 時由 Sylow 定理知道有 subgrp H 使 $|H| = p^2$
        由 (a) 的假設知 $H = \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ (因 $|H| = p^2:p\text{ is a prime}\Rightarrow H\text{ is abelian}$)
        找 k in G\H 便可生成 $K = \langle k\rangle$ , 且 $H\cap K = \{e\}$
        得到了 G = HK 真開心

        分析 Au(H) 和 K 便得:
            $G = \langle a,b,k: a^p = b^p = k^p = e, kak^{-1} = ab, kbk^{-1} = b\rangle$

3. 若是 (b) 的情況:
   令這個元素是 h, 令 H = $\langle h\rangle = \mathbb{Z}_{p^2}$
   想找 k in G\H 讓 G = HK

   這裡就是關鍵了!
   若 p 是偶數, 能符合 G=HK 的 k 有兩種!
        (1) ord(k) = p, $K = \langle k\rangle =\mathbb{Z}_p$, $H\cap K = \{e\}$
        (2) ord(k) = $p^2$, K = $\mathbb{Z}_{p^2}$, $|H\cap K| = p\neq 1$
            此時永遠不能造出 semidirect product

   p=2 時, (1) 便能造出 D8
           (2) 便能造出 Q8
   p>2 時, (1) 可以自己造出一類群
$G = \langle h,k: h^{p^2} = k^p = e, khk^{-1} = h^{v+p}\rangle$
           (2) 不存在, 要證這個 便要證 "G\H 中元素 ord 都是 p"
               最好我們能先找出一片 "元素 ord 都是 p" 的東西
               再在挑 h 生成 H 時避開這片東西

        發現了嗎? 這片東西就是 kernel$\phi = \{x \in G: x^p = e\}$啊!
        所以要證 $\phi$ 是 group homomorphism
        才能證 kernel$\phi$ 是群,
        也因此 kernel$\phi\simeq\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ 不同構於 $H\simeq\mathbb{Z}_{p^2}$
        才可以在 kernel$\phi$\H 中挑 k 生成 K
        使 G = HK