淺談代數拓樸

1.
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面

代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.

最直接的例子就是 fundamental group.

對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.

第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps

        { $\pi_n(X)$; n = 1,2,3, ... }

雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups

        { $H_n(X)$; n = 0,1,2, ... }

homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups

        { $H^n(X)$; n = 0,1,2, ... }

雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量