Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 $U_\chi(g)$-modules 帶來的好處
2011年11月11日
與王偉強有約 - (6) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
7. Premet Theorem
現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
b) $\chi([m,m])$ = 0
c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$
來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
$p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$
Jens Carsten Janzten
7. Premet Theorem
現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
b) $\chi([m,m])$ = 0
c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$
來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
$p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$
2011年11月4日
與王偉強有約 - (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
摘要:
總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構
Jens Carsten Janzten
摘要:
總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構
2011年10月28日
與王偉強有約 - (4) Lectures on Quantum Groups
Lectures on Quantum Groups,
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules
令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素
可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件
(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$
我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules
令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素
可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件
(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$
我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論
2011年10月21日
與王偉強有約 - (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
5. $sl_2(K)$
這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0
這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0
2011年10月14日
與王偉強有約 - (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:
2011年10月8日
與王偉強有約 - (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level
今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要
On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu
摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.
類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
character 如下
Thm 1
ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$
也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!
這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)
本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!
On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu
摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.
類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
character 如下
Thm 1
ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$
也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!
這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)
本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!
2011年6月20日
2011年5月26日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 11)
http://tinyurl.com/3zshabv
Chapter 11 - Tilting Module
11.1 ~ 11.3
構造有點辛苦, 要對 translation functor 很熟
才能證明 indecomposable tilting modules 可以用 highest weight 去 index
並且這樣的構造唯一
所以 M is a tilting module <=> M is self-dual and has Verma flags
...我開始理解為什麼有人要研究 self-dual projective cover 了
Chapter 11 - Tilting Module
11.1 ~ 11.3
構造有點辛苦, 要對 translation functor 很熟
才能證明 indecomposable tilting modules 可以用 highest weight 去 index
並且這樣的構造唯一
所以 M is a tilting module <=> M is self-dual and has Verma flags
...我開始理解為什麼有人要研究 self-dual projective cover 了
2011年5月17日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 10)
http://tinyurl.com/3vf9xqz
Chp 10 Projective Modules
簡介 projective functor 的概念如下:
簡單的講就是要通透 tensoring with f.d. modules over $\mathbb{C}$
(以下以 $\otimes$ 表示 tensoring over $\mathbb{C}$)
Chp 10 Projective Modules
簡介 projective functor 的概念如下:
簡單的講就是要通透 tensoring with f.d. modules over $\mathbb{C}$
(以下以 $\otimes$ 表示 tensoring over $\mathbb{C}$)
Projective Functors
這篇簡單介紹 Bernstein and Gelfand 的 paper:
Tensor Products of Finite and Infinite Dimensional Representations of Semisimple Lie Algebras
http://tinyurl.com/68aj3cc
Tensor Products of Finite and Infinite Dimensional Representations of Semisimple Lie Algebras
http://tinyurl.com/68aj3cc
2011年4月29日
推薦一本書
Group Characters, Symmetric Functions, and the Hecke Algebra
當初只是為了找 Hecke algebra 的相關資料借了這本書
發現他講群表現的思路很好 (推薦第二次以後看)
這是一本很薄的書, 許多證明省略, 需要自己補起來, 但好處就是很順暢
上面的連結有 ams 提供的完整下載
當初只是為了找 Hecke algebra 的相關資料借了這本書
發現他講群表現的思路很好 (推薦第二次以後看)
這是一本很薄的書, 許多證明省略, 需要自己補起來, 但好處就是很順暢
上面的連結有 ams 提供的完整下載
2011年4月26日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 9)
Chp 9 Parabolic Category Op
對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個
固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:
對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個
固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:
2010年12月23日
台北表現理論研討會
Columbia 的 Lauda 講的也很炫
好啦 其實我只是對於其中的畫圖技術著迷 xD
剛剛一查
他居然有把相關工具的教學放在網頁上
http://www.math.columbia.edu/~lauda/xy/
全部的 slides 可以去研討會網站下載
http://www.math.sinica.edu.tw/chengsj/lie_2010.htm
好啦 其實我只是對於其中的畫圖技術著迷 xD
剛剛一查
他居然有把相關工具的教學放在網頁上
http://www.math.columbia.edu/~lauda/xy/
全部的 slides 可以去研討會網站下載
http://www.math.sinica.edu.tw/chengsj/lie_2010.htm
2010年12月17日
Combinatorial Representation Theory of the Spin Symmetric Group
看看標題: Representation of spin symmetric groups
我們對裡面的字眼都很熟…除了 spin 以外
在對稱群表現中，我們研讀以下理論:
我們對裡面的字眼都很熟…除了 spin 以外
在對稱群表現中，我們研讀以下理論:
- The character map
- Tableaux and Robinson-Schensted-Knuth relation
- Schur duality
- Kostka numbers
- Coinvariant algebra
- Jucy-Murphy elements
- Seminormal form representations
- Young symmetrizers
- Hecke algebras
2010年12月6日
2010年12月2日
台北表現理論研討會 12/20~23
http://www.math.sinica.edu.tw/chengsj/lie_2010.htm
12/20(一) 12/21(二) 12/22(三) 12/23(四)
0900 畢勒費大學(德) 中國科學院 九州大學
Ringel 席南華 Wakimoto
1000 Cluster algebra Weyl Group Poisson W-algebra
1010 麻省理工 哥倫比亞大學 北卡州立大學
Vogan Deng Lauda 景乃桓
1110 Unitary Repns KLR algebra VOA:Jack poly.
1130 北京理工大學 香港科技大學 倫敦城市大學 中研院
胡峻 朱永昌 Chuang 林正洪
1230 Hecke algebra Loop Groups 對稱群表現 VOA:holo. frame
1400 巴黎第七大學 北京理工大學 維吉尼亞科大
單芃 萬金奎 Li
1430 Hecke algebras sym. algebra 量子群
1440 巴黎第七大學 麻省理工 雪梨大學
Vasserot Lusztig Molev
1540 Hecke algebras Weyl Group 超李代數組合
1610 渥太華大學 維吉尼亞科大 喬治亞大學
Savage Shimozono Nakano
1710 Hecke algebras 代數群 超李代數同倫
http://www.math.sinica.edu.tw/chengsj/lie_2010.htm
以下是各演講摘要:
12/20(一) 12/21(二) 12/22(三) 12/23(四)
0900 畢勒費大學(德) 中國科學院 九州大學
Ringel 席南華 Wakimoto
1000 Cluster algebra Weyl Group Poisson W-algebra
1010 麻省理工 哥倫比亞大學 北卡州立大學
Vogan Deng Lauda 景乃桓
1110 Unitary Repns KLR algebra VOA:Jack poly.
1130 北京理工大學 香港科技大學 倫敦城市大學 中研院
胡峻 朱永昌 Chuang 林正洪
1230 Hecke algebra Loop Groups 對稱群表現 VOA:holo. frame
1400 巴黎第七大學 北京理工大學 維吉尼亞科大
單芃 萬金奎 Li
1430 Hecke algebras sym. algebra 量子群
1440 巴黎第七大學 麻省理工 雪梨大學
Vasserot Lusztig Molev
1540 Hecke algebras Weyl Group 超李代數組合
1610 渥太華大學 維吉尼亞科大 喬治亞大學
Savage Shimozono Nakano
1710 Hecke algebras 代數群 超李代數同倫
http://www.math.sinica.edu.tw/chengsj/lie_2010.htm
以下是各演講摘要:
2010年12月1日
Taipei Winter School in Representation Theory 12/16 ~ 19
| Speaker: | Mark Shimozono (Virginia Tech) |
| Title: | Affine Schubert Calculus (Abstract) (Lecture notes) |
| Time: |
|
| Place: | Room 638, Institute of Mathematics (中研院數學所638討論室) |
| Speaker: | Weiqiang Wang (University of Virginia) |
| Title: | Combinatorial Representation Theory of the Spin Symmetric Group (Abstract) (Lecture notes) |
| Time: |
|
| Place: | Room 638, Institute of Mathematics (中研院數學所638討論室) |
2010年7月14日
[Notes] Representation of Finite and Compact Groups
Textbook: Representations of Finite and Compact Groups, Simon
這是康明昌老師的開課用書，確實如他所述、這本書的問題很多，常常會有符號上的錯誤，也不適合第一次唸群表現的人讀。
但是這本書由很高的角度來看群表現這件事，多半的入門書會花很多精力在處理實例(譬如說對稱群)，一個接一個介紹那些 representation，但不系統，雖然說這本書也沒有很系統的把這些講好，但是它提供了一個觀點試圖這樣作(待我好好整理整理...)
之後待補上 Sagan 的群表現筆記，那個比較適合第一次學的人看。
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