與王偉強有約 - (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten


摘要:

這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:

以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0

1. Finiteness

簡述 modular case 和 original case 的差異
比方說 simple g-modules 的維度會被常數 N(g) bound 住
(p = 0 時 simple modules 維度要多大都可以)
Lie Theorem 也會失效

2. Restricted Lie algebras

res. Lie alg. g 就是一個 Lie alg. 配上 pth power map $x \mapsto x^{[p]}$
使得 "記錄 power map 和 ring 乘法 之間的差異的 map"

     $\xi:g\to U(g)$ by  $x \mapsto x^p - x^{[p]}$

足夠好, 也就是說, 可以定多項式環 $Z_0(g):=K[\xi(g)]$ 落在 center Z(g) 內,
使得 U(g) 作為 $Z_0(g)$-module 是個 free module 並有 PBW type basis

另一方面, 仿照之前定義 weight 和 central character 的經驗,
因為 $\xi(x)$ 落在 center 中, 故它作用在 module 上為一常數
我們蒐集 $\xi(x)$, 便可以定出 module M 所攜帶的 p-character $\chi:g\to K$

在熟知的對應下

                {g-modules}   $\leftrightarrow$ {U(g)-modules}

我們便可將它細分成

        {g-modules with p-char $\chi$} $\leftrightarrow$ {$U_\chi(g)$-modules}

這裡 $U_\chi(g)$ 便稱作 restricted enveloping algebra
而 $U_\chi(g)$ 在 automorphism of res. Lie alg $G':= \text{Aut}_{\text{res}}(g)$ 的共軛作用下同構
所以問題可以 reduce 成看 $G'$-orbit of $\chi$

3. Unipotent Lie algebras

就是 res. Lie alg. with nilpotent power map,
所以也有人叫它 p-nilpotent Lie algebra

之所以叫做 unipotent, 因為 unipotent algebraic group G 對應的 Lie algebra
Lie(G) 在這個定義下是 unipotent Lie algebra, 更嚇人一點, 在下面這個
 equivalence of categories 下

        {Res. Lie alg. g} $\leftrightarrow$ {"Res." group scheme G}

我們有 g is unipotent iff G is unipotent

我們便可用同調代數配合 Schur lemma 證明 simple $U_\chi(g)$-modules 只有一種!

4. Induced modules

對每個 $\chi \in g^*$, 我們可以定大家所熟知(...應該吧)的 induction functor $\text{Ind}_\chi$,
他會是一個尊重 PBW basis 的 exact functor, 也滿足 Frobenius reciprocity

用 Ind functor 我們就可以描述 modular representation theory 中的核心結構 -
baby Verma modules $Z_\chi(\lambda)$

此外, 也可以描述在 completely solvable Lie alg. 中, 任何 simple module 形如
$ \text{Ind}_\chi(K_f)$, 其中 $K_f$ 是 Vergne polarization of $f \in g^*$, 為一特別的 1-dim
module.