Galois theory 與 Invariant theory

日前在讀 Reflection groups 的 invariant theory
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group $W\leq GL(V)$ 中包含 -1  iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!

1.
我們看 GL(V) 的 subgroup W
這裡 V 是 n維 vector space over field K of char 0
可定 S = $S(V^*)$ 為 V 的 dual space 的 symmetric algebra
因此 S 可視為多項式環 $K[x_1, \ldots, x_n]$

因 W acts on V* 有自然的 action by $(w\cdot f)(v) := f(w^{-1}\cdot v)$
故 W acts on S  也有自然的 action
便可定出 W-invariants R:= $S^W$

2.
注意 fraction field L:= frac S 同構於 $K(x_1,\ldots, x_n)$
為一 purely transcendental extension of K of trdeg n
可證 L 為 fixed field $L^W$ 的 finite Galois extension !

3.
經由簡單的驗證, 我們知道 frac R = $L^W$, 所以我們有以下 Galois 對應


$\begin{array}{ccc}\text{frac}R=L^W&\leq&L\\ \updownarrow&~&\updownarrow\\W=\text{Aut}(L/\text{frac}R)&\geq&\text{Aut}(L/L)\end{array}$

4.
用一些代數幾何的技術, 我們可以證明 Chevalley 定理:

R 作為 K-algebra, 由 n 個代數獨立的齊次多項式生成

Chevalley 有很多定理, 但是 "the" Chevalley 定理就是這個
我們稱生成 R 的多項式為 basic invariants

李代數表現論中的核心定理: Harish-Chandra 定理便建立在 Chevalley 定理之上

5.
basic invariants 並不能唯一決定,
比方說, $\{x+y,x^2+y^2\}$ 和 $\{x+y,xy\}$ 可生成一樣的 $S_2$-invariants
不過, degree 卻是唯一決定的!
此例中便是 1, 2

而這 degree 可以帶給我們意想不到的資訊

6.
比方說, 還記得 W 是 GL(V) 的 subgroup 嗎?
我們宣稱 "-1 落在 W 中 iff 所有的 degree 都是偶數" !

(=>) 容易, 因為 -1 induces a map in Aut(S), 在 d 次多項式上作用為 $(-1)^d$
     所以任何 W-invariant 都該是偶次多項式

(<=) 由 fundamental thorem of Galois theory, W = Aut(L/frac R)
     因此檢查 -1 這個 automorphism of L 的確 fixes frac R 便得證

酷弊了!