與王偉強有約 - (7) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten

本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 $U_\chi(g)$-modules 帶來的好處

與王偉強有約 - (6) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten

7. Premet Theorem

現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
    若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
    a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
    b) $\chi([m,m])$ = 0
    c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
    則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$

來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
   對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
    $p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$

與王偉強有約 - (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten

摘要:

總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構

與王偉強有約 - (4) Lectures on Quantum Groups

    Lectures on Quantum Groups,
    Jens Carsten Janzten

摘要:

這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules

令 g 為 fd complex Lie algebra
   k 為 field of char 0
   q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素

可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件

(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$

(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$

(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$

我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論

與王偉強有約 - (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

5. $sl_2(K)$

這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0

與王偉強有約 - (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten


摘要:

這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:

與王偉強有約 - (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level

今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要

    On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
    Oliver Mathieu 

摘要:
    對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
    在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
    在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.

    類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
    在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
    character 如下

Thm 1
    ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$

    也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!

    這個結果有很多證明, 如
        Wakimoto 1986 (sl2 case)
        Hayashi 1988 (affine classical)
        顧中民 1989 (in general)
        Feigin & Frenkel 1992 (整理)

    本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 11)

http://tinyurl.com/3zshabv

Chapter 11 - Tilting Module

11.1 ~ 11.3
構造有點辛苦, 要對 translation functor 很熟
才能證明 indecomposable tilting modules 可以用 highest weight 去 index
並且這樣的構造唯一

所以 M is a tilting module <=> M is self-dual and has Verma flags

...我開始理解為什麼有人要研究 self-dual projective cover 了

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 10)

http://tinyurl.com/3vf9xqz

Chp 10 Projective Modules

簡介 projective functor 的概念如下:
簡單的講就是要通透 tensoring with f.d. modules over $\mathbb{C}$
(以下以 $\otimes$  表示 tensoring over $\mathbb{C}$)

Projective Functors

這篇簡單介紹 Bernstein and Gelfand 的 paper:

Tensor Products of Finite and Infinite Dimensional Representations of Semisimple Lie Algebras
http://tinyurl.com/68aj3cc

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 9)

Chp 9 Parabolic Category Op

對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個

固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 8)

Chp 8 Kazhdan-Lusztig Theory

這章因為預備知識太多, 省略困難的幾何證明
但是也大略給了定義, 定理敘述和例子, 包含:

Hecke Algebras
KL conjectures
Schbert Varieties
Vogan's conjecture
KLV polynomials
Jantzen conjecture
Loewy filtrations

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 7)

http://tinyurl.com/4kfwxs9

7 Translation functor

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 6-2)

http://tinyurl.com/49elgdb
 

半單李代數表現導論

我整理了 Humphreys 和其他參考資料 想寫一篇 半單李代數表現論的講義
http://tinyurl.com/4d7wtb8



目前還差 translation functor 的部分

以下是中文序: 什麼是"李代數表現論"

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 5)

http://tinyurl.com/4ak6m2w

5.1 ~ 5.7 BGG Theorem
          Jantzen Filtration and its Application

5.8 ~ 5.9 Determinant Formula for Shapovalov Matrices

證明了紮紮實實的大定理

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (4.8 ~ 4.12)

Chapter 4 Highest Weight Modules I
http://tinyurl.com/4t8sexd

李代數入門書

推薦書:
1. Lie Algebras of Finite and Affine Type
   Roger Carter, 2005
   (632頁 無習題)

2. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
   James E. Humphreys, 1972
   (171頁 有習題)

3. Introduction to Lie Algebras
   Karin Erdmann & Mark J. Wildon, 2005
   (251頁 有習題)

如果想要看一些李代數 可以從這幾本書下手

內容大概是:

	E & W (251p)	Humphreys (171p)	Carter (632p)
複半單李代數分類理論	不完整	有	有
Cartan子代數共軛理論	不完整	有	有
宇包絡代數, PBW 定理	簡介	有	有
Formal Characters	無	有	有
Harish-Chandra 定理	無	有	有
Chevalley Algebras	無	有	無
Kac-Moody Algebras	簡介	無	有

[2010 Winter School] Affine Schubert Calculus

Affine Schubert Calculus

動機:
1.
在 Schubert Calculus 中, 我們有個重要的結構

$\text{ring } H^\cdot(\mathcal{F}l)=\bigoplus_w \mathbb{Z}[X^w]$

可拆解成 basis $[X^w]$ 滿足

$[X^u][X^v] = \sum_w c_{uv}^w [X^w]$

其中 $c_{uv}^w$ 稱 Littlewood-Richardson coefficient, 恆非負 並且有 “intersection multiplicities”…等很好的幾何意義。

2.
在 Affine Grassmannian $Gr_G$中, 我們也有個重要的結構

$\text{ring } H_\cdot(Gr_G)=\bigoplus_w \mathbb{Z}[X_w]$

可拆解成 basis $[X_w]$ 滿足

$[X_u][X_v] = \sum_w d_{uv}^w [X_w]$

其中 $d_{uv}^w$ 稱 Gromov-Witten invariants, 恆非負。\\
一來 $ H_\cdot(Gr_G)$ 和 $ H^\cdot(Gr_G)$ 之間有對偶關係 (Hopf duality), 二來 $ H_\cdot(Gr_G)$ 有個 ring homomorphism 打到 Sym，也因此我們預期可以找到另一類 symmetric functions 的 basis。

畫 coxeter graph 的工具

By Stembridge:
http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/archive.html

Coxeter graph paper

If you've ever worked with affine reflection groups, you've probably wasted
lots of time drawing the reflecting hyperplanes of the rank 2 groups on
scraps of paper.

You may also have wished you had pads of graph paper with
these lines drawn in for you. If so, you've come to the right place.

Behold!
Coxeter graph paper!