[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 9)

Chp 9 Parabolic Category Op

對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個

固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:

9.1 ~ 9.5 給出了一些基本性質

重要的是證明
若 $M \in \mathcal{O}$ 則

        $M \in \mathcal{O}^\mathfrak{p} \Leftrightarrow \text{ All composition factors } L_I(\lambda) \text{ of } M \in \mathcal{O}^\mathfrak{p}$
右式即  $\lambda \in \Lambda_I^+$  for all such  $\lambda$

9.6 ~ 9.7

之後定義 parabolic Verma module, 會是 Verma module 的 quotient,
最後 based on formal character theory in O, 給出了換算 bases 的 unipotent
matrices, 解決了 formal character theory in Op (for ``integral'' weights)

然後稍微 state 一下 parabolic 版本的 KL conjecture,
在 1987 年由 Casian-Collingwood 給出

http://tinyurl.com/3fvyvzn

9.8
證明 parabolic version of BGG reciprocity
Humphreys 說 "這些證明本質上是一樣的, 歡迎讀者自己證證看 ^_<"

.... 好吧, 我就證給你看

9.9 ~9.13 Parabolic Verma module 性質

9.14 Socles and self-dual projectives

要用到 Gelfand-Kirillov dimension 來證明,
這邊只給出半段 projective 是否 self-dual 的 criterion

9.15 Blocks

目前 open, well...

9.16 BGG resolution

proved by Rocha, 大略的證明也很像