Review on Harish-Chandra Theorem (1)

之前太著重於 Harish-Chandra 定理的證明
所以對於他的應用 有點沒那麼通透




1. 首先我們要回顧一下 central character $\chi$

在一個 highest weight module M of highest weight $\lambda$ 中
令其 highest weight vector 為 $v^+$
猶記我們證明過 $(M)_\lambda = \mathbb{C}v^+$

我們來看看 $z \in Z(\mathfrak{g})$ 作用在 $v^+$ 上會跑去哪裡, 得:
$h\cdot(z\cdot v^+) = z\cdot(h\cdot v^+) = \lambda(h)(z\cdot v^+)$

因此 $(z\cdot v^+) \in (M)_\lambda = \mathbb{C}v^+$
對於每個 $z\in Z$, 我們都可以把它作用在 $v^+$ 上的倍數蒐集起來
成為一個 algebra homomorphism $\chi_\lambda: Z(\mathfrak{g}) \rightarrow \mathbb{C}$

因為 M 是個 highest weight module, M = $U(\mathfrak{g})v^+$
故 for all m $\in$ M, $m = g\cdot v^+$ for some $g\in U(\mathfrak{g})$
因此 $z\cdot m = z\cdot(g\cdot v^+) = g\cdot(z\cdot v^+) = \chi_\lambda(z) (g\cdot v^+)$
太好了, z acts on M 都是同樣的倍數啊

2. 然後我們要看看 Harish-Chandra 定理發揮了什麼作用
直接看 $Z(\mathfrak{g})$ 和 $S(\mathfrak{h})^W$ 同構什麼也看不出來
我們用到的是兩個 consequences:
(1) $\chi_\lambda = \chi_\mu$ iff $\mu = w\cdot\lambda$ for some $w\in W$
(2) 任何 central character $\chi$ 都等於某個 $\chi_\lambda, \lambda\in \mathfrak{h}^*$

這樣有什麼好處呢?
我們證明過 $\mathcal{O}$ is Artinian
又, 由 finitely generated, 知 $\mathcal{O}$ 中元素必有 finite filtration of highest weight modules
每個 highest weight module 必有 unique maximal submodule 可以 quotient
這個 descending chain of modules 必然會停下來
並且每個 quotient 都是 simple module $L(\mu)$ for some $\mu$

我們著眼於每個 highest weight module M of weight $\lambda$
如果 $L(\mu)$ 是 M 中的 composition factor
因為 $L(\mu)$ 本身也是一個 highest weight module of weight $\mu$
那麼 $z\in Z$ 在 $L(\mu)$ 的 action 可以由 $\chi_\mu$ 決定

同時我們知道 $z\in Z$ 在 M 上的 action 也要由 $\chi_\lambda$ 決定
因此 要 $\chi_\mu = \chi_\lambda$, 故需 $\mu = w\cdot\lambda$ for some $w\in W$

因此 $[M:L(\mu)] \neq 0$ => $\mu \leq \lambda$ 且 $\mu$ 和 $\lambda$ is W-linked
特別的是, $[M(\lambda):L(\mu)] \neq 0$ =>  $\mu \leq \lambda$ 且 $\mu$ 和 $\lambda$ is W-linked

什麼樣的 simple factor 會出現/出現幾重 就是 BGG 的工作了 (待續)