李代數暑期課程 8/23

1. 今天換成林牛教授了

主題是 Kac-Moody Algebra 及其 representation

2. 猶記 complex semisimple algebra $\mathfrak{g}$ 必有:
1) (positive) root system $\Delta$, $(\Delta^+)$
2) root basis $\Pi = \{\alpha_i\}$ 和 coroot basis $\check{\Pi}=\{\check{\alpha}_i\}$
3) Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$
4) root decomposition \[\mathfrak{g} = \mathfrak{h} + \Sigma_{\alpha \in \Delta} \mathfrak{g}_\alpha\]

因此我們可以把 $\mathfrak{g}$ 的資訊寫成 Cartan matrix $[a_{ij}] \in M_l(\mathbb{Z})$
其中 $a_{ij} := \check{\alpha}_j(\alpha_i)$
符合 $a_{ii} = 2, a_{ij} \leq 0 if i \neq j$

仔細檢驗可以知道
1) $\{e_\alpha, f_\alpha, \check{\alpha}\}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的 basis, 稱 Chevalley generators
    滿足三條關係和兩條額外的 Serre relations
2) 因此 $\mathfrak{g}$ 可以視為 free algebra $F(V)$ quotient 掉 relation ideal 的結果

反過來看, 我們寫下什麼樣的 matrix 可以生成 Lie algebra 呢?
這樣可以生成 Lie algebra 的 matrix 就稱 Generalized Cartan matrix
生成的 Lie algebra 就稱 Kac-Moody Algebra

3. 給定 generalized Cartan matrix $A$ 可生成一個輔助的 Lie algebra $\tilde{g}(A) $
為 Chevalley basis 生成的 free algebra quotient 掉 前三條規則
這個 quotient 不會把 $\mathfrak{h}$ 中的元素給殺掉
可證它有 triangular decomposition $\tilde{g}$ = $\mathfrak{n}^-$ $\oplus$ $\mathfrak{h}$ $\oplus$ $\mathfrak{n}^+$
此時存在 maximal ideal $\check{r}$ 使 $\check{r} \cap \mathfrak{h} = 0$
便可造出 Kac-Moody algebra $\mathfrak{g}(A) = \check{\mathfrak{g}}/\check{r}$

4. 可證滿足 Serre relation 的元素會落在 maximal ideal $\check{r}$ 中
因此 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h},\Pi,\check{\Pi})$ 可唯一決定一個 Lie algebra

5. 定 Kac-Moody algebra 的 Weyl group
不像之前從 root system 的幾何反射式直觀定義
而是先造出 $\mathfrak{h}^*$ 之後定其中元素定義映射來臨摹反射該有的性質