李代數暑期課程 8/17

1. 豆知識: 用哥德 $\mathfrak{g}$ 表李代數是因為他最初只是要用來表
           李群 $G$ 的 tangent surface at identity 這個向量空間
           後來作為獨立的結構才有人用 $L$ 表它

2. 豆知識: Cartan 重音在第二音節
           念起來比較像 卡彈

3. 我們知道 $L$ is semisimple <=> Killing form $\kappa$ is non-degenerate
   可以證 $\kappa_{\downarrow H}$ (其中 $H$ 為 CSA) 也 non-degenerate

   為什麼要證這個?
   這樣的話 $\kappa$ 就可以生成 natural bijection
$\begin{matrix}H & \rightarrow & H^*\\ h & \mapsto & \kappa(h,\cdot) \end{matrix}$

   使 $\kappa$ 是個 non-degenerate symmetric bilinear form on $H^*$
   (但它仍不是 conjugate symmetric，所以不能造 $\mathbb{C}$ 上的 inner product)
   (這就是為什麼我們需要$\langle \cdot , \cdot \rangle$)

4. 若 $L$ is semisimple 則 root space $\Delta$ 才是個 root system
   若 $L$ is reductive  則 $\Delta$ "幾乎" 是個 root system
   只少了 "span condition"

5. 令 $E$ 為 real span $\left\{\sum_{\alpha \in \Delta} c_\alpha \alpha : c_\alpha \in \mathbb{R} \right\} \subset H^*$
                   
   有 $\kappa(\cdot ,\cdot)_{\downarrow H^*}$ 為 $E$ 上的 inner product

   特別地
   $E$ 有 real form $H^* = E \oplus iE = E \otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}$
   如 $M_n(\mathbb{C}) = \mathfrak{u}(n) \otimes i\mathfrak{u}(n) = \mathfrak{u}(n) \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$

6. Real Lie algebra $\mathfrak{g}$ 可以由 complexification 造出 Complex Lie algebra $L$
   即 $L = \mathfrak{g} \otimes \mathbb{C} = \mathfrak{g} + i\mathfrak{g}$
   可以生成 natural Lie algebra structure
   因為 real linear map extends 成 complex map 之後 trace 不變
   故 $\mathfrak{g}$ is semisimple <=> $L$ is semisimple

7. 雖然 real Lie algebra $sl(n,\mathbb{R})$ 和 $\mathfrak{su}(n)$ 的 complexification 都是 $sl(n,\mathbb{C})$
   但是 $sl(n,\mathbb{R})$ 和 $\mathfrak{su}(n)$ 並不同構!

   雖然 $sl(2,\mathbb{R})$ 和 $\mathfrak{su}(2)$ 都 semisimple of dim. 3
   在 complex 的情況下這樣可以保證 $L$ 和 $sl(2,\mathbb{C})$ 同構
   但是我們卻發現 $sl(2,\mathbb{R})$  有 semisimple elements
               但 $\mathfrak{su}(2)$ 沒有!

   這表示 real semisimple Lie algebra 不保證有 semisimple elements
   某種程度可以想成對角化 (雖然中間差了個 adjoint)
   但是這邊不是 Jordan form fails
   而是 Abstract Jordan decomposition fails