李代數暑期課程 8/16

中研院李代數暑期課程共 10 天
由四位教授接力上課

Coordinators/Lecturers:
程舜仁 Shun-Jen Cheng (Academia Sinica),
蔡孟傑 Meng-Kiat Chuah (National Tsing-Hua University),
林正洪 Ching Hung Lam (Academia Sinica),
林  牛 Ngau Lam (National Cheng Kung University)



1.
今天上課的是清大的蔡孟傑教授
這三天都是他講
基本上是要講"空降"的複半單李代數分類定理
簡介實半單李代數和李群

2.
李代數的核心是複半單李代數
說是核心呢 不如說那是裡面最(相對)簡單的部分
推廣的研究方向大致如下:
    (1) 無限維李代數
        主要是將 Cartan matrix 推廣 還原成 Root system 以建構 Lie Algebra
        如 Kac-Moody algebras

    (2) Lie Superalgebra
        加入 $\mathbb{Z}_2$-grading 的成分 就是 Lie SUPERalgebra (超級啊!)
        大意是將 $L$拆成 even part $L_0$ 和 odd part $L_1$
        $L_0$ 本身是一個李代數
        $L_1$ 則是 $L_0$ 的線性李代數表現
        使 $[L_0,L_1],[L_1,L_0]$ 落在 $L_1$ 中
           $[L_1,L_1]$ 落在 $L_0$ 中
        或是說他滿足 SUPER skew-sym. 和 SUPER Jacobi id. (超級啊)
       這是程舜仁的主要研究方向

    (3) 實半單李代數
        在實向量空間上操作就能跟幾何有關
        這是蔡孟傑的研究方向

    (4) Vector Operator Algebra
        這是林正洪的研究方向
        不過聽說他很困擾
        因為這個東西的定義寫下來聽說要一小時
        讓我們看看他會怎麼教...

    (5) Cluster Algebra
        這還很新 @@
        是 Fomin 和 Zelevinsky 在 2002 提出來的
        wiki 上是說
        A cluster algebra of rank n is an integral domain A,
        together with some subsets of size n called clusters whose union
        generates the algebra A and which satisfy various conditions
        我之後如果有學再來說

3. 我們來看看 $\begin{matrix}sl(2,C) &= \{ A \in M_2(\mathbb{C}): tr(A) = 0\}\\ &= \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}: a,b,c \in \mathbb{C} \right\} \end{matrix}$
   有 basis $e = E_{12}$; $f = E_{21}$; $h = E_{11} - E_{22}$

   可算得
$\begin{matrix}[e,e]=0; &[h,e]=2e; &[f,e]=-h \\ [e,f]=h;&[h,h]=0;&[f,h]=2h \\ [e,h]=-2e;&[h,f]=-2f;&[f,f]=0 \end{matrix}$
   即
   圖像化
$\begin{matrix}e\\ | \\ h \\ | \\ f \end{matrix}$



$ad_e$ 把 $f$ 抬高到 $span(h)$
        $h$ 抬高到 $span(e)$
        $e$ 抬高到飛出去了 記作 0

$ad_f$ 把 $e$ 壓低到 $span(h)$
        $h$ 壓低到 $span(f)$
        $f$ 壓低到沉下去了 記作 0

$ad_h$ 則維持原來的高度

    這就是 height 的概念
    推廣之
    就是所有的 $sl(2,\mathbb{C})$-module

    我們找 $d$次二元齊次方程 $V_d$ 作 module
    其 basis 是
$\begin{matrix}X^d\\ | \\ X^{d-1}Y \\ | \\ \vdots \\ | \\ Y^d \end{matrix}$

    這個 module 對應的 representation 就是

    可以看出 $e$ 的作用 確實把 $V_d$ 中元素往上抬
             $f$ 的作用 確實把 $V_d$ 中元素往下壓
             $h$ 的作用 確實把 $V_d$ 中元素維持住

4. 一般來說
   Lie algebra $L$ 可拆成  $J \oplus Z$，其中$J$ semisimple, $Z$為 center
   若 $H$ 是 $L$ 的 Cartan subalgebra
   則 $H$ 也可拆成 $H_1 \oplus Z$ 其中 $H1 = H/Z$ 是 $J$ 的 Cartan subalgebra

5. 要建立 Root system 為什麼需要 semisimple?
   因為 "$\alpha$是root $\Rightarrow -\alpha$ 也是 root" 需要 Killing form non-degenerate
   否則可以由 lemma: $\alpha+\beta \not = 0 \Rightarrow \kappa (t_\alpha ,t_\beta) = 0$ 得到矛盾