李代數暑期課程 8/20

1. Casimir operator
  挑 1) Lie algebra $\mathfrak{g}$ 及其 basis $(u_1 ~ u_n)$
       2) 任何一個 non-degenerate symmetric invariant bilinear form $(\cdot,\cdot)$
  因 $(\cdot,\cdot)$ is non-degenerate 故可找到 $\mathfrak{g}$ 的另一個 basis $(u^1~u^n)$
  使 $(u_i,u^j) = \delta_ij$

  便可定 Casimir operator \[\Omega = \sum_{i=1}^n u_i u^i \in U(\mathfrak{g})\]
  可證 $\Omega$ 的定義和 basis 的選取無關

  基本性質:
  (1) $\Omega \in Z(U(\mathfrak{g}))$
  (2) $\Omega$ acts on 有限維 irreducible module $L(m)$ 為 純倍數
      譬如說 $\mathfrak{g} = sl(2,\mathbb{C})$ 時有倍數 $\frac{m^2}{2} + m$

      因此觀察 $\Omega$ 在 arbitrary module 上的作用
      就可以藉由不同的 eigenvalue 把不同 irreducible modules 給分離出來

  在一般 simple Lie algebra $\mathfrak{g}$ 中
  因 $\mathfrak{g}$ is invariant，$(\cdot,\cdot)$ 在 CSA $\mathfrak{h}$ 上的 restriction 也 non-degenerate，  因此可得出自然的 isomorphism

$\begin{matrix} \nu:&\mathfrak{h}&\rightarrow&\mathfrak{h}^*\\&x&\mapsto&\nu_x:&\mathfrak{h}&\rightarrow&\mathbb{C}\\& & & &y&\mapsto&(x,y)\end{matrix}$

  特別寫 $\mathfrak{h}$ 的 basis 成 ${t_1,\ldots,t_n}$ 生成 dual basis ${t^1,\ldots,t^n}$ wrt $(\cdot,\cdot)$
  可知 $[e_\alpha,e_{-\alpha}] = \nu^{-1}(\alpha)$,  其中 $e_\alpha \not= 0 \in \mathfrak{g}_\alpha, e_{-\alpha} \not= 0 \in \mathfrak{g}_{-\alpha}$
  便可將 Casimir operator 寫成
$\Omega =\sum t_i t^i+\sum\nu^{-1}(\alpha)+\sum e_{-\alpha}e_{\alpha} =\sum t_i t^i+\nu^{-1}(\rho)+2\sum e_{-\alpha}e_{\alpha}$
稱 usual form
其中 \[\rho=\frac{1}{2}\sum_{\alpha \in \Delta+} \alpha\]
  可證 $\Omega$ 作用在 singular vector of weight $\lambda$ 的倍數為 $(\lambda+2\rho,\lambda)$

2. Singular Vector

  在 g-module $V$ 的 vector $v_\lambda$ of weight $\lambda$ 稱 singular 即
       $e_\alpha v_\lambda = 0 \forall \alpha \in \Delta^+$
  由定義檢驗便得 $\Omega v_\lambda = (\lambda+2\rho,\lambda)v_\lambda$

  又可證任何 有限維 $\mathfrak{g}$-module $V$ 必由 singular vector $v_\lambda$ 生成
  且 singular vector 的 weight space 必只有一維
  這個 $\lambda$ 稱 highest weight
  $V_\lambda$ 稱 highest weight space
  因為其他的 weight 都可由 highest weight 扣去 positive roots 生成
  並能用 PBW 定理來描述 V 的 basis

  $V$ 形如 $\left\langle e_{-\alpha}^* H^* e_{\alpha}^* v_\lambda\right\rangle$
  因為 $e_\alpha$ 由 singular 定義 kills $\alpha$
  $\mathfrak{h}$ 中元素 $H$ 作用為常數倍
  故有 $V = \left\langle e_{-\alpha_1}^{k_1} \ldots e_{-\alpha_t}^{k_t} v_\lambda\right\rangle$
  (這就是為何 其他 weight 都可由 highest weight 扣去 positive roots 生成)

  再接下去講
  就是之前提過的 {有限維irred. modules} $\Leftrightarrow$ {dominant integral weights 類}

3. Verma module (續)
  可以用 Verma module 證明:
  決定了 highest weight 後 對應的有限維 irred. module 便同構
  因為 這樣的 $V$ 必是 Verma module $M(\lambda)$ 的 quotient

  真的建構發現它們 quotient 掉的東西必須是 maximal submodule (唯一)
  因此他們便同構

4. Character
  雖然知道有限維 $\mathfrak{g}$-module 必 completely reducible (by Weyl's Thm)
  但是我們只知道它們 irreducible 不知道它更多的資訊

  對 $L(\lambda)$ 來說 可以有 weight space decomposition $\bigoplus_\mu L(\lambda)_\mu $
  便可定 formal indeterminate $e$
  和 character $ch(L(\lambda)) = \sum_\mu e^\mu dim(L(\lambda)_\mu)$

  譬如說 在 $\mathfrak{g} = sl(2,\mathbb{C})$ 時
$ch(L(\lambda))$ = $e^{\frac{m\alpha}{2}} + \ldots + e^{-\frac{m\alpha}{2}}$ = $\frac{e^{\frac{(m+1)\alpha}{2}} - e^{\frac{-(m+1)\alpha}{2}}}{e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2}}$

  而在一般的 $\mathfrak{g}$ 有 Weyl's character formula 來算 closed form