[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O

Chapter 4 Highest Weight Modules I

4.1~ 4.2
證明 Verma modules 有唯一的 simple submodule
這個 simple submodule 恰好又是個 Verma module
並刻劃一些 Verma modules 間的 homomorphisms 之性質

4.3 ~ 4.8

證明 若 $\mu= s_\alpha\cdot\lambda$, α 是 positive root
則存在 embedding M(μ) → M(λ)

證明 Verma module 是 simple 的充要條件是他的 ht wt is antidominant
並稍微講了一下 projective cover 的 socle 是數份 simple modules of
antidominant wwight 的 direct sum

至於這東西有幾份
便要用到 Kahzdan-Luztig Theory
由 Stroppel 證明了 共有 $(P(w\cdot\lambda):M(w_0\cdot\lambda))$個 copies