Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 $U_\chi(g)$-modules 帶來的好處
2011年11月11日
與王偉強有約 - (6) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
7. Premet Theorem
現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
b) $\chi([m,m])$ = 0
c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$
來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
$p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$
Jens Carsten Janzten
7. Premet Theorem
現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
b) $\chi([m,m])$ = 0
c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$
來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
$p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$
2011年11月4日
與王偉強有約 - (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
摘要:
總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構
Jens Carsten Janzten
摘要:
總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構
2011年10月28日
與王偉強有約 - (4) Lectures on Quantum Groups
Lectures on Quantum Groups,
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules
令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素
可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件
(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$
我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules
令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素
可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件
(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$
(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$
我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論
2011年10月21日
與王偉強有約 - (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
5. $sl_2(K)$
這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0
這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0
2011年10月14日
與王偉強有約 - (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic
Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:
Jens Carsten Janzten
摘要:
這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:
2011年10月11日
Galois theory 與 Invariant theory
日前在讀 Reflection groups 的 invariant theory
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group $W\leq GL(V)$ 中包含 -1 iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group $W\leq GL(V)$ 中包含 -1 iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!
2011年10月8日
與王偉強有約 - (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level
今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要
On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu
摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.
類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
character 如下
Thm 1
ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$
也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!
這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)
本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!
On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu
摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.
類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
character 如下
Thm 1
ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$
也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!
這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)
本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!
2011年10月6日
2011年9月18日
淺談代數拓樸
1.
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面
代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.
最直接的例子就是 fundamental group.
對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.
第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps
{ $\pi_n(X)$; n = 1,2,3, ... }
雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups
{ $H_n(X)$; n = 0,1,2, ... }
homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups
{ $H^n(X)$; n = 0,1,2, ... }
雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面
代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.
最直接的例子就是 fundamental group.
對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.
第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps
{ $\pi_n(X)$; n = 1,2,3, ... }
雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups
{ $H_n(X)$; n = 0,1,2, ... }
homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups
{ $H^n(X)$; n = 0,1,2, ... }
雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量
2011年9月8日
2011年6月23日
2011年6月20日
2011年6月3日
亞太數學季刊
http://www.taiwanmathsoc.org.tw/webpage/news/APMN_V1_N2_Electronic.pdf
本期 highlights "Ramanujan"
他是一個印度天才, 沒有受過高等數學訓練, 但是他花了一輩子在和數字培養感情
不喜歡寫證明, 但能用眼睛看出數字背後的神奇,
可以寫下一堆創意無限, 很難相信人可以創造出來的誇張等式
範例:
2011年5月6日
最差勁的 notation
By Richard Stanley
There is a famous anecdote about Barry Mazur coming up with the worst
notation possible at a seminar talk in order to annoy Serge Lang.
Mazur defined $\Xi$ to be a complex number and considered
the quotient of the conjugate of $\overline{\Xi}$ and $\Xi$:
$\frac{\overline{\Xi}}{\Xi}$
This looks even better on a blackboard since$\Xi$ is drawn as three horizonal
lines.
史上最差的符號, 是 Barry Mazur 在一次 seminar 中,
為了激怒(?) Serge Lang 而寫出來的
令 $\Xi$ 為一個複數, 就可以寫下他的共軛複數 $\overline{\Xi}$ 就可以寫下 後者除以前者:
$\frac{\overline{\Xi}}{\Xi}$
There is a famous anecdote about Barry Mazur coming up with the worst
notation possible at a seminar talk in order to annoy Serge Lang.
Mazur defined $\Xi$ to be a complex number and considered
the quotient of the conjugate of $\overline{\Xi}$ and $\Xi$:
$\frac{\overline{\Xi}}{\Xi}$
This looks even better on a blackboard since$\Xi$ is drawn as three horizonal
lines.
史上最差的符號, 是 Barry Mazur 在一次 seminar 中,
為了激怒(?) Serge Lang 而寫出來的
令 $\Xi$ 為一個複數, 就可以寫下他的共軛複數 $\overline{\Xi}$ 就可以寫下 後者除以前者:
$\frac{\overline{\Xi}}{\Xi}$
2011年5月3日
2011年4月29日
推薦一本書
Group Characters, Symmetric Functions, and the Hecke Algebra
當初只是為了找 Hecke algebra 的相關資料借了這本書
發現他講群表現的思路很好 (推薦第二次以後看)
這是一本很薄的書, 許多證明省略, 需要自己補起來, 但好處就是很順暢
上面的連結有 ams 提供的完整下載
當初只是為了找 Hecke algebra 的相關資料借了這本書
發現他講群表現的思路很好 (推薦第二次以後看)
這是一本很薄的書, 許多證明省略, 需要自己補起來, 但好處就是很順暢
上面的連結有 ams 提供的完整下載
2011年4月26日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 9)
Chp 9 Parabolic Category Op
對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個
固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:
對 reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們可以定 parabolic subalgebra (PSA) $\mathfrak{p}$ Standard PSA 和 simple reflections 的子集一一對應, 共 $2^\text{rank}$ 個
固定一個 standard PSA $\mathfrak{p}$, 我們可以定 parabolic category $\mathcal{O}^\mathfrak{p}$,
是 category $\mathcal{O}$ 的 full subcategory, 其 objects 滿足一些條件:
2011年4月20日
[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 8)
Chp 8 Kazhdan-Lusztig Theory
這章因為預備知識太多, 省略困難的幾何證明
但是也大略給了定義, 定理敘述和例子, 包含:
Hecke Algebras
KL conjectures
Schbert Varieties
Vogan's conjecture
KLV polynomials
Jantzen conjecture
Loewy filtrations
這章因為預備知識太多, 省略困難的幾何證明
但是也大略給了定義, 定理敘述和例子, 包含:
Hecke Algebras
KL conjectures
Schbert Varieties
Vogan's conjecture
KLV polynomials
Jantzen conjecture
Loewy filtrations
2011年4月6日
範疇論 (category) 簡介
Category 簡介:
古典代數中, 我們看代數"結構"過度著重於他的"物件"
譬如說我們講 module theory, 心中想到的是一顆一顆的 module
但是愈來愈受到重視的是 "物件間的保結構映射", 通稱 morphisms
1. 比方說, 最簡單的 non-trivial 結構應該就是 向量空間了,
它身為物件簡單到不能再簡單了,
但是它的 morphisms, 也就是 linear maps (matrices) 卻要花上好幾門課探討
2. 從另外一個方向看, 研究 modules 的人把問題 reduce,
做完了所有 irreducible modules 的分類, 可喜可賀.
但是只有"夠好"的 狀況下才可以說任何 module 都是這些最小單位的 direct sum
換成 homological algebra 的語言, 就是 extensions always split
在 non-split extensions 的情況, 就要考慮 $\text{Ext}(A,B)$ 的 dimension,
以決定有幾"種"方式把 irr. module 兜回去
而 $\text{Ext}(A,B)$ 可被證明等價於 $\text{Hom}$ 的 1 次 derived functor
所以我們必須好好研究 $\text{Hom}$, 也就是物件的 morphisms.
3. 有些人想要把這種概念抽象化,
把所有 (objects, morphisms) 做分類,
但是要把這個"一樣"說請楚要一番功夫,
要先定義 category, 才能定義 functor,
才能把這個"一樣", 也就是 natural transformation 講清楚
古典代數中, 我們看代數"結構"過度著重於他的"物件"
譬如說我們講 module theory, 心中想到的是一顆一顆的 module
但是愈來愈受到重視的是 "物件間的保結構映射", 通稱 morphisms
1. 比方說, 最簡單的 non-trivial 結構應該就是 向量空間了,
它身為物件簡單到不能再簡單了,
但是它的 morphisms, 也就是 linear maps (matrices) 卻要花上好幾門課探討
2. 從另外一個方向看, 研究 modules 的人把問題 reduce,
做完了所有 irreducible modules 的分類, 可喜可賀.
但是只有"夠好"的 狀況下才可以說任何 module 都是這些最小單位的 direct sum
換成 homological algebra 的語言, 就是 extensions always split
在 non-split extensions 的情況, 就要考慮 $\text{Ext}(A,B)$ 的 dimension,
以決定有幾"種"方式把 irr. module 兜回去
而 $\text{Ext}(A,B)$ 可被證明等價於 $\text{Hom}$ 的 1 次 derived functor
所以我們必須好好研究 $\text{Hom}$, 也就是物件的 morphisms.
3. 有些人想要把這種概念抽象化,
把所有 (objects, morphisms) 做分類,
但是要把這個"一樣"說請楚要一番功夫,
要先定義 category, 才能定義 functor,
才能把這個"一樣", 也就是 natural transformation 講清楚
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