與王偉強有約 - (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level

今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要

    On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
    Oliver Mathieu 

摘要:
    對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
    在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
    在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.

    類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
    在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
    character 如下

Thm 1
    ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$

    也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!

    這個結果有很多證明, 如
        Wakimoto 1986 (sl2 case)
        Hayashi 1988 (affine classical)
        顧中民 1989 (in general)
        Feigin & Frenkel 1992 (整理)

    本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!

    Remark
    1. 這篇的證明不需套用 Kac-Kazhdan formula, 證明較直接
    2. 可由此得知 restricted Wakimoto module $W(-\rho)$ is simple
    3. 縱使平常 Steinberg module $L((p-1)\rho)$ is simple on f.d. Lie algebras
       但由此可知 $L((p-1)\rho)$ is not simple on affine KM algebras

   證明大綱:

1. 由 Steinberg tensor product theorem, Thm 1 與下面定理等價

Thm 2
    If char k = p > 0, then
    ch $l((p-1)\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha\in\Delta_{re}^+} \frac{1-e(-p\alpha)}{1-e(-\alpha)}$

2. 觀察 simple highest weight module 的結構, 把其中一部分看成 free module
   因為此時這種 free module 夠好, canonically 同構於 restricted symmetric
   algebra, 我們可以特別找出 Weyl group 裡面一個元素 t,
   使 t-action on exponent preserves order
   可構造 $\Delta_\Omega$ according to $t^n, n\geq 0$
   故可以寫出

    ch $l((p-1)\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha\in\Delta_\Omega}\frac{1-e(-p\alpha)}{1-e(-\alpha)}$
                       
   因 formal character is W-invariant,
   所以對所有 $n\geq 0$, 對兩邊 apply $t^n$ 後再取極限, 就得到 Thm 2 的 "$\geq$"
   因此 Thm 1 的 "$\geq$" 也可用 Steinberg tensor product theorem 得到

3. 可引用 restricted Wakimoto module 的存在性,
   得到 Thm 1 的 "$\leq$",
   因此 Thm 2 的 "$\leq$" 也可用 Steinberg tensor product theorem 得到

Q.E.D.