與王偉強有約 - (4) Lectures on Quantum Groups

    Lectures on Quantum Groups,
    Jens Carsten Janzten

摘要:

這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules

令 g 為 fd complex Lie algebra
   k 為 field of char 0
   q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素

可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件

(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$

(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$

(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$

我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論

(1). Minuscule modules

$\lambda\in\Lambda^+$ 稱 minuscule
<=> $\langle\lambda,\alpha\rangle$ = 0, -1 or 1 for all $\alpha\in\Phi$
<=> $\lambda = \sum n_i w_i$ 其中 $n_i$ = 0, -1 or 1; $w_i$ 為 fundamental weights

因此 $L(\lambda)$ 的 weight space 為 W-orbit of $\lambda$ 且 multiplicity 都為 1
此類 modules 包含了 type A,C,D 的 natural modules

(2). Largest short root $\alpha_0$

看 indecomposable root sys $\Phi$,
基礎的 Lie theory 告訴我們 largest short root $\alpha_0$ 唯一存在
其 weights 為 $\Phi\cup\{0\}$
非零 weight space 和 (1) 維度和作用都一樣
但是處理 zero weight space 稍微麻煩一些

此類 modules 包含了 type B 的 natural modules 和 type A,D,E 的 adjoint modules

(3) Adjoint modules in general

出乎意料的, 他的作用只 depends on each weight string !
知其 weights 為 $\Phi\cup\{0\}$
可找到一組 basis $\{x_\alpha; \alpha\in\Phi\}\cup\{h_\beta; \beta\in\Pi\}$

看不通過 $h_\beta;\beta\neq\alpha$ 的 $\alpha$-weight string $\gamma$ 到 $\gamma + m\alpha$,
$E_\alpha$ 和 $F_\alpha$-action 可表示成

E-action           
$L_\gamma \overset{1}{\underset{[m]_\alpha}{\longleftrightarrow}} L_{\lambda+\alpha} \overset{[2]_\alpha}{\underset{[m-1]_\alpha}{\longleftrightarrow}} \cdots \overset{[m]_\alpha}{\underset{1}{\longleftrightarrow}} L_{\lambda+m\alpha}$
F-action

看通過 $h_\beta;\beta\neq\alpha$ 的 $\alpha$-weight string $x_{-\alpha}$ 到 $x_\alpha$
$E_\alpha$ 和 $F_\alpha$-action 可表示成

E-action
$L_{-\alpha} \underset{[\langle\beta,\alpha\rangle]_\beta}{\longleftarrow} kh_\beta \overset{[\langle\beta,\alpha\rangle]_\alpha}{\longrightarrow} L_{\alpha}$
F-action

(4) Symmetric power

我們可以將 m次 symmetric power of natural module of type A
表成 polynomial $S[X_1,\ldots, X_{n+1}]$ 的 m 次齊次 subspace
可證他是 simple module $L(mw_1)$

(5)

(1) 和 (2) 中的 simple module 有好的性質
任意 tensor 一 simple module L(v),
可以用 Brauer formula 證明

令 $\lambda_0$ 為 minuscule weight, 則
$L(v)\otimes L(\lambda_0) = \bigoplus L(u+v)$
    其中 $u\in W{\lambda_0}$ 且 $u+v\in\Lambda^+$
      
令 $\alpha_0$ 為 largest short root, 則
$L(v) \otimes L(\alpha_0) = \left(\bigoplus L(u+v)\right) \oplus \left(\bigoplus L(v)\right)$
    其中 $u\in W{\alpha_0}$ 且 $u+v\in\Lambda^+$
         $m = \#\{\alpha\in \Pi; \langle\lambda,\alpha\rangle > 0\}$

並且
令 $\Lambda_0$ := { minuscule weights } ∪ { largest short roots }
可證任意 simple U-module 必是 $L(v_1) \otimes \ldots \otimes L(v_n)$ 的 comp. factor
其中 $v_1, \ldots, v_n\in \Lambda_0$