與王偉強有約 - (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten

摘要:

總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構




6. Reductive Lie algebras

(A)
g 稱 reductive <=> g = Lie(G),
                   其中 G 為 connected reductive alg. grp

假設 G is "good"
(不同的文章有不同的 goodness, 可得到不同的好處)
(那些是專家考慮的, 我們別太執著)

找 G 的 maximal torus T, 可定 h = Lie(T) 並定出 $n^\pm, b^\pm$
我們知道 h, $n^\pm$, $b^\pm$ 都是 restricted Lie subalg. , 並且 $n^\pm$ unipotent
也知道 h is Abelian, 可定 1-dim h-module

$\begin{array}{ccccc}H&\times&K_\lambda&\to&K_\lambda\\(h&,&m)&\mapsto&\lambda(h)m\end{array}$

由 $U_\chi(g)$ 的定義, 可寫下 $K_\lambda$ 看成 $U_\chi(g)$-mod 的充要條件為

        $\lambda\in \Lambda_\chi:= \{\lambda; \lambda(h_i)^p - \lambda(h_i) = \chi(h_i)^p\text{ for all }i\}$

(B)
由 algebraic group 的性質可證明
任何 $\chi\in g^*$ 都 conjugate with $\chi^1$ 滿足 $\chi^1(n^+)$ = 0
猶記之前提過 $U_\chi(g)$ 由 conjugacy class 決定
因此以後我們可假設 $\chi(n^+)$ = 0

(C)
在這個前提下我們就可以對 $\lambda\in \Lambda_\chi$ 定義 Baby Verma module

    $Z_\chi(\lambda) := \text{Ind}_\chi K_\lambda$ as a $U_\chi(g)$-mod

並證明

    (1) 任何 $U_\chi(g)$-mod 都是某 $Z_\chi(\lambda)$ 的 homomorphic image
    (2) 若額外有 $\chi(H)$ = 0, 則
        若 simple $\alpha$ 滿足 $\chi(x_{-\alpha})\neq 0$, 則 $Z_\chi(\lambda) \simeq Z_\chi(s\alpha\cdot\lambda)$

(1) 是因為分析 simple modules 的結構, 便知 $K_\lambda \hookrightarrow M$ as $U_\chi(b^+)$-mod.
    Apply exact contravar. functor $\text{Ind}_\chi$, 便得結果

(2) 則是真的構造, 由 dimension reason 證明 isomorphism

7. Premet Theorem

以下仍保留 6. 中的假設
Theorem.
    若 $m\leq g$ 為 unipotent subalgebra 滿足
    a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
    b) $\chi([m,m])$ = 0
    c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
    則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$

這個定理有三個 applications

1. 定出 inverse equivalence of categories Mod $U_\chi(g)$ $\leftrightarrow$ Mod $U_\chi(l)$
   其中 Levi subalg. $l\leq g$ , 由 G is good 可知
   $l$ = centralizer $c_g(\chi_s)$ for Jordan decomp. $\chi = \chi_s + \chi_n$

   由此範疇等價, $\chi$ 便可以 reduce 成 nilpotent case

2. [Kac-Weisfeiler Conjecture]
   對 $U_\chi(g)$-mod M 來說,
    $p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$

   便可用此定理刻劃 baby Verma module 何時 simple

3. 特別看 $\chi$: regular semisimple
   那麼 $U_\chi(g)$ 會是一個 semisimple algebra, 且

   $U_\chi(g)=\underset{p^{\dim(h)}}{\underbrace{M_n(K)\times\ldots\times M_n(K)}}$ 其中 $n = p^dim(n^-)$