與王偉強有約 - (7) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten

本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 $U_\chi(g)$-modules 帶來的好處




10. Standard Levi Forms

1.
從頭回想, 我們要研究 g-modules 其中
g = Lie(G) 為 f.d. reductive Lie algebra / alg. closed K of char p > 0
G: "good" algebraic group / K

a)
定義 p-character $\chi$ in g* 之後,
便可定 restricted enveloping algebra $U_\chi(g)$
便能將 g-modules with p-character $\chi$
一一對應成 $U_\chi(g)$-modules

b)
由 Premet's Theorem 的 corollary,
我們可以將問題 reduce 成 $\chi$ : nilpotent 的 case
不失一般性, 可令 $\chi(b^+)$ = 0

2.

$\chi$ in g* 稱作有 standard Levi form 即它滿足
    (S1) $\chi(b+)$ = 0
    (S2) 存在 $I\subset\Pi$ (set of simple roots) 使得
         for all $\alpha\in\Phi$, $\chi(x_{-\alpha})\neq0$ iff $\alpha\in I$

這個定義乍看之下有點拗口,
不如換種說法, 在我們先前的假設下已有 (S1), 再先定

    I:= $\{\alpha\in\Phi;\chi(x_{-\alpha})\neq0\}$

那麼 $\chi$ in g* 稱作有 standard Levi form 即 $I\subset\Pi$

3.

在 char 0 case, Verma module $M(\lambda)$ 有 uniq maximal submodule
因此就能定義 uniq simple module $L(\lambda)$

baby Verma module $Z_\chi(\lambda)$, $\lambda$ in $\Lambda_\chi$ 一般來說沒有 uniq max submod
特別看 $\chi$ 有 std Levi form 時, $Z_\chi(\lambda)$ 能證有 uniq max submod
因此 uniq simple quoteint $L_\chi(\lambda)$ is well-defined

延伸下去, 能證明
    (1) $L_\chi(\lambda)\simeq L_\chi(\mu)$
        <=> $\lambda$ 和 $\mu$ 落在同個 $W_I$-dot orbit
    (2) $L_\chi(\lambda)$ 的 projective cover $Q_\chi(\lambda)$ 滿足 "類" BGG reciprocity
特別看 $\chi$ 是 regular nilpotent 時, 由 KW conjecture 能證明
    (3) $Z_\chi(\lambda)$ 都 simple,
    (4) $Z_\chi(\lambda)\simeq Z\chi(\mu)$
        <=> $\lambda$ 和 $\mu$ 落在同個 $W_I$-dot orbit
    (5) $\text{End}_gQ_\chi(\lambda)$ 同構於 coinvariant algebra of W


11. Graded Structures

1.
這裡的 Grading 是 X/$\mathbb{Z}$I-grading on $U_\chi(g)$-modules
其中 X = X(T) 是 character group of T; T 即 G 的 max. torus

$\lambda\in X$ 代表 $\lambda:G\to G_m$ 是個 algebraic group homomorphism
有對應的 differential $d\lambda:H\rightarrow K$, 是個 restricted Lie alg homomorphism
因此 $d\lambda\in\Lambda_0$

2.
以 Mod$U_\chi(g)$ 表示 $U_\chi(g)$-modules 形成的 module category
 GrMod$U_\chi(g)$ 表示 graded $U_\chi(g)$-modules 形成的 category
可以自然的定出 forgetful functor F: GrMod$U_\chi(g)\to$  Mod$U_\chi(g)$

對每個 $\lambda\in X$, 我們都可定
"lifted" baby Verma module $Z^1_\chi(\lambda)$
和 "lifted" simple module $L^1_\chi(\lambda)$
使得 F{$ Z^1_\chi(\lambda)$ } = $Z_\chi(d\lambda)$
     F{ $L^1_\chi(\lambda)$ } = $L_\chi(d\lambda)$

也能證:
    (1) $Z^1_\chi(\lambda)\simeq Z^1_\chi(\mu)$
        <=> $L^1_\chi(\lambda)\simeq L^1_\chi(\mu)$
        <=> $\lambda$ 和 $\mu$ 落在同個 $W_I^{af}$-dot orbit
其中 $W_I^{af}$ 是對應 I 的 affine Weyl group
    (2) [Linkage Priciple]
        $[Z^1_\chi(\lambda): L^1_\chi(\mu)]\neq 0$ <=> $\mu$,$\lambda$ 落在同一個 $W^{af}$-dot orbit
    (3) $L^1_\chi(\lambda)$ 的 projective cover $Q^1_\chi(\lambda)$ 滿足 "類" BGG reciprocity

3.
   將 $U_\chi(g)$ 賦予 grading 之後能作的操作還有很多,
   注意 GrMod$U_\chi(g)$ 是個 direct sum of categories of the same copy C
   將 C 再切割, 也能像 Category O 裡面一樣定 translation functors
   並證明 translation functors 能定 inverse equivalence of categories

4. 
   特別看 "fundamental" $C_0$
   我們可以 formulat 出 "affine" Lusztig Conjecture

   $[Z^1_\chi(v\cdot\lambda_0):L^1_\chi(w\cdot\lambda_0)]=P_{k_I(v), k_I(w)}(1)$

   在 $\chi$ = 0 時能 reduce 成 classical KL conjecture
   目前也只有部份情形能證