與王偉強有約 - (6) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten

7. Premet Theorem

現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
    若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
    a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
    b) $\chi([m,m])$ = 0
    c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
    則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$

來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
   對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
    $p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$

(proof)
(A)
我們只要建構一個可套用 Premet Theorem 的 subalgbra m,
滿足 dim(m) = dim $G.\chi/2$

便知道 M is free over $U_\chi(m)$, which is of dim. $p^{\dim(m)}$, 就得證.

現在 $\chi$ is nilpoteny, 由 G is good, 能找到對應的 e in g
使得 $\chi(x)=(e,x)$ for some G-invariant non-deg bilinear form (-,-)

(B)
我們宣稱可以找到一組 g 的 $\mathbb{Z}$-grading as restricted Lie algebra

    $g=\bigoplus_{i\in\mathbb{Z}}g(i)$ 滿足:

(1) e in g(2), $c_g(e)$ in $\bigoplus_{i\geq0}g(i)$
(2) dim $C_G(e)$ = dim g(0) + dim g(1)
(3) dim g(i) = dim g(-i)            

若如此, 則定 m = $\left( \bigoplus_{i\geq-1} g(-i)\right)\oplus g^1(-1)$
其中 $g^1(-1)$ 為 maximal isotropic subalgebra wrt <-,->
注意 dim $g^1(-1)$ = dim g(-1)/2
所以我們便有

dim G.e = dim g - dim $C_G(e)$
        = $\sum_{i\neq0,1}$ dim g(i)
        = dim g(-1) + 2$\sum_{i\geq2}$ dim g(i)

因此 dim m = dim G.e/2

(C)
回來看這個 grading, 在 p 夠好的時候
我們有 Jacobson-Morozov 定理,
即對 nilpotent elt e, 都找得到 f,h in g 使得 同構於 $sl_2$

便可定 g(i) := $\{x\in g;[h,x]=ix\}$

(D)
在一般的 p, 這種 eigenspaces 無法將它們好好 "分開"
我們須藉由特別的 1-parameter group $\psi$: $G_m\to G$ 和 adjoint action,
將 eignevalue 轉換成 多項式才行, 即

    $g(i):= \{ x\in g;\text{Ad}(\psi(t))(x)=t^ix\text{ for all }t\in K\backslash0\}$

這即是原本版本的 "integration"
將 $\psi(t)$ 視為 $t^h$,
將 LHS 對 t "微分"便得 $(t^h x-xt^h)'=t^{h-1}(hx -xh)$
將 RHS 對 t "微分"便得 $(t^i x)'=t^{-1}ix$
代 t = 1 便得 [h,x] = ix

(E)
而此 1-parameter group 便來自 Bala-Carter parametrization of nilpotent orbits

9. Centers

(A)
在 char 0 的情況, 我們證明 Z(g) 即是 G-invariant part $U(g)^G$
再證明在 W-dot action 底下的 invariant part $S(H)^W$ 和 $U(g)^G$ 同構
便可得到 Harish-Chandra 定理

    $Z(g)\to S(H)^W$ acted by projection 是個 algebra isomorphism

在 modular case, Z(g) 不再等於 $U(g)^G$,
Kac-Weilsfeiler 證明了推廣的版本:

    $U(g)^G\to S(H)^W$ acted by projection 是個 algebra isomorphism

(B)
As a corollary, 我們可定 "central" character
cen$\lambda$: $U(g)^G\to K$ 記錄 elt u 在 $Z_\chi(\lambda)$ 上作用的倍率
便可證

cen$\lambda$ = cen$\mu$ <=> $\lambda$ 和 $\mu$ 落在同一個 W-dot orbit