與王偉強有約 - (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

5. $sl_2(K)$

這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0

[A]

為了分類 g-modules, 前幾章證明可將它 reduce 成分類 simple U_\chi(g)-modules.

令 $G'=\text{Aut}_{\text{res}}(g)$, 即是 automorphisms of g as restricted Lie algebras
即是 automorphisms of g as Lie algebras 中
尊重 pth power map 的那些自同構所形成的子群

寫出來就是

 $t\in G'\Leftrightarrow t(x^{[p]})=t(x)^{[p]}$

所以由定義,  $U_\chi(g) = $U(g)/\langle\xi(x)-\chi(x)^p\rangle$ 可知
任何 $t\in G'$ induces $U_\chi=U_{t\chi}$ 其中 $t\chi$ = $\chi\circ t^{-1}$
因此我們只需考慮 $G'$-orbit of $\chi$ 即可

又, 代數幾何告訴我們若 g = Lie(G) for algebraic group G,
那麼我們只需考慮 G-orbit of $\chi$ 即可

[B]

回到 g = $sl_2(K)$, 為 $SL_2(K)$ 對應的 Lie algebra
但我們可 identify $SL_2(K)$-orbit 到 G = $GL_2(K)$-orbit
由 Jordan form, G 中元素可 up to conjugate 寫成兩類

1) $\begin{bmatrix}r&0\\0&s\end{bmatrix}$
 稱對應此共軛類的 $\chi \in g^*$ semisimple

2) $\begin{bmatrix}r&1\\0&r\end{bmatrix}$
稱對應此共軛類的 $\chi \in g^*$ nilpotent


因此 $U_\chi(g)$-modules 的分類分成三個 cases:

    a) $\chi=0$

這是一個 Humpreys 裡面的習題, simple modules 就是 L(0), L(1), ... L(p-1).

    b) $\chi\neq 0$; $\chi$ semisimple
    c) $\chi\neq 0$; $\chi$ nilpotent

Friedlander 和 Parshall 證明 eigenvalues of h-actions 為下面的個方程式的解:

$\lambda^p - \lambda = \chi(h)^p$

case b) 中 semisimplicity 保證解對應的 $Z_\chi(\lambda)$ 兩兩不同構, 因此 simple
modules 有 p 種

case c) 中, 解對應的 $Z_\chi(\lambda)$ 除了最高 weight以外兩兩成對, 因此 simple modules
有 (p+1)/2 種

這裡的 $Z_\chi(\lambda)$ 是 baby Verma module
是 modular representation 的重要結構