範疇論 (category) 簡介

Category 簡介:

古典代數中, 我們看代數"結構"過度著重於他的"物件"
譬如說我們講 module theory, 心中想到的是一顆一顆的 module
但是愈來愈受到重視的是 "物件間的保結構映射", 通稱 morphisms

1. 比方說, 最簡單的 non-trivial 結構應該就是 向量空間了,
   它身為物件簡單到不能再簡單了,
   但是它的 morphisms, 也就是 linear maps (matrices) 卻要花上好幾門課探討

2. 從另外一個方向看, 研究 modules 的人把問題 reduce,
   做完了所有 irreducible modules 的分類, 可喜可賀.
   但是只有"夠好"的 狀況下才可以說任何 module 都是這些最小單位的 direct sum
   換成 homological algebra 的語言, 就是 extensions always split

   在 non-split extensions 的情況, 就要考慮 $\text{Ext}(A,B)$ 的 dimension,
   以決定有幾"種"方式把 irr. module 兜回去

   而 $\text{Ext}(A,B)$ 可被證明等價於 $\text{Hom}$ 的 1 次 derived functor
   所以我們必須好好研究 $\text{Hom}$, 也就是物件的 morphisms.

3. 有些人想要把這種概念抽象化,
   把所有 (objects, morphisms) 做分類,
   但是要把這個"一樣"說請楚要一番功夫,
   要先定義 category, 才能定義 functor,
   才能把這個"一樣", 也就是 natural transformation 講清楚

4. 言歸正傳,
   一個 category $C$ 是個 pair $( ob(C), M(C) )$
   1) $ob(C)$ 代表 "物件 objects"
   2) $M(C)$ 代表 "保結構映射 morphisms"

   滿足 1) 任何物件 $a \in ob(C)$ 都有 identity morphism $1_a: a \rightarrow a$

           即    $a\overset{f}{\rightarrow}b$   有  $a\overset{f}{\rightarrow}b = a\overset{f \circ 1_a}{\rightarrow}b$

               $b\overset{g}{\rightarrow}a$   有  $b\overset{g}{\rightarrow}a = b\overset{1_b \circ g}{\rightarrow}a$

        2) composition of morphisms 滿足 associativity:

           即  $a\overset{f}{\rightarrow}b, b\overset{g}{\rightarrow}c, c\overset{h}{\rightarrow}d$     有   $a\overset{h\circ (g\circ f)}{\rightarrow}d = a\overset{(h\circ g)\circ f}{\rightarrow}d$
         

   而 (covariant) functor $F:C\rightarrow D$ 則是 map between categories, 把
   1) 物件打到物件
   2) morphisms 打到 morphisms
        且保有 identities 和 compositions

   如此一來, 就可以定義 natural transformation between functors
   給兩個 functors $F,G:C\rightarrow D$
   $T$ 稱 natural transformation from $F$ to $G$ 即

$\begin{array}{cccccc}T:&ob(C) &\rightarrow & M(D)\\& x & \mapsto & F(x)\overset{T(x)}{\rightarrow} G(x)\end{array}$  使得 對所有 $a \overset{f}{\rightarrow}b \in M(C)$ 都有
$\begin{array}{cccccc} F(a) & \overset{F(f)}{\longrightarrow} & F(b)\\ \downarrow_{T(a)} && \downarrow_{T(b)} \\ G(a) & \overset{G(f)}{\longrightarrow} & G(b) \end{array}$ commutes


5.  第一次閱讀有點困難... 因為

    morphism    是個  "map"  between  同 category 中的 objects
    functor     是個  "map"  between  不同 categories 的 objects and morphisms
    natural transformation 是個 "map" between  兩個 functors

6.  例子:

    1) 向量空間 $V$ → 他的 double dual $V**$ is natural
    2) 有限維向量空間 $V$ → 他的 dual $V*$ 是個 isomorphism, 但不 natural
    3) Tensor identity:
       $\text{Hom}(X \otimes Y, Z) \rightarrow \text{Hom}(X, \text{Hom}(Y,Z))$ is natural

7. 而要把 (quasi-)equivalence of categories 講清楚,
   就需要看 adjoint functors pair, 且待下回分曉