Regular Tass Office Hour

2011年11月25日

轉台到 wordpress 啦

雖然我很想支持 google
但是 blogger 對 LaTeX 的支持太差了

以後這個站不會更新
請造訪 http://rtassoh.wordpress.com

2011年11月21日

微中子比光速快

有影無?
之前被人說是誤差成份較大
現在他們再度檢驗說這次沒問題了

Nature 網站報導
arXiv 文檔

2011年11月18日

與王偉強有約 - (7) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 $U_\chi(g)$-modules 帶來的好處

2011年11月11日

與王偉強有約 - (6) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten

7. Premet Theorem

現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用
Premet's Theorem.
    若 m$\leq$ g 為 unipotent subalgebra 滿足
    a) m 與 centralizer $c_g(\chi)$ 交集為空
    b) $\chi([m,m])$ = 0
    c) $\chi(m^{[p]})$ = 0
    則每個 $U_\chi(g)$-mod 都 free over $U_\chi(m)$

來證明
[Kac-Weisfeiler Conjecture]
   對 $U_\chi(g)$-mod M 來說
    $p^{\dim G.\chi /2}|\dim M$

2011年11月10日

基因演算法打倒空氣人

小史 po 的
用基因演算法打倒空氣人 xDDDD

原理:
洛克人是用基因演算法寫出來的程式操控的
經過了十個世代的繁衍, 終於打倒了空氣人!
作法大概如下

2011年11月4日

與王偉強有約 - (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

摘要:

總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
若 $\chi$ is regular nilpotent, 那麼 $U_\chi(g)$ 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構

2011年10月28日

與王偉強有約 - (4) Lectures on Quantum Groups

    Lectures on Quantum Groups,
    Jens Carsten Janzten

摘要:

這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules

令 g 為 fd complex Lie algebra
   k 為 field of char 0
   q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素

可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件

(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$

(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$

(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$

我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論

2011年10月21日

與王偉強有約 - (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

5. $sl_2(K)$

這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0

2011年10月14日

與王偉強有約 - (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

摘要:

這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:

2011年10月13日

中國大三生劉路解出邏輯學二十年難題

剛剛聽萬翔講的
打電話跟小胖確認這個是真消息 xD

不過 google 搜 Seetapun conjecture 搜不到定義...
邏輯學家果然很小眾.......

小孟查到的
http://www.math.berkeley.edu/~slaman/papers/cjs.pdf

Conjecture 2.12 (Seetapun and Slaman [1995]).

Any proof that every computable 2-coloring of $[N]^2$ has an infinite
homogeneous $\text{low}_n$ set should lead to a proof that $RCA_0 + RT_2^2$ is
$\Pi_1^1$-conservative over $RCA_0 + I\Sigma_n$

新聞連結:

2011年10月11日

Galois theory 與 Invariant theory

日前在讀 Reflection groups 的 invariant theory
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group $W\leq GL(V)$ 中包含 -1 iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!

2011年10月8日

與王偉強有約 - (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level

今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要

    On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
    Oliver Mathieu

摘要:
    對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
    在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
    在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.

    類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
    在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
    character 如下

Thm 1
    ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$

    也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!

    這個結果有很多證明, 如
        Wakimoto 1986 (sl2 case)
        Hayashi 1988 (affine classical)
        顧中民 1989 (in general)
        Feigin & Frenkel 1992 (整理)

    本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!

2011年10月6日

台大 OpenCourseWare

http://case.ntu.edu.tw/CASTUDIO/

響應 MIT

2011年9月29日

線上 3D 繪圖

http://www.livephysics.com/ptools/online-3d-function-grapher.php

超酷!

2011年9月26日

Modes of Convergence 整理

之前王振男有教過, 最近需要用到, 所以我再整理後把他打出來:
我們著眼於以下四種收斂方式:

AU:    $f_n \to f$ almost uniformly
AE:    $f_n \to f$ almost everywhere
Ｍ:    $f_n \to f$ in measure
$L^1$:    $f_n \to f$ in mean

2011年9月18日

淺談代數拓樸

1.
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面

代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.

最直接的例子就是 fundamental group.

對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.

第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps

        { $\pi_n(X)$; n = 1,2,3, ... }

雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups

        { $H_n(X)$; n = 0,1,2, ... }

homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups

        { $H^n(X)$; n = 0,1,2, ... }

雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量

2011年9月8日

台大數學所和 UVa 數學所的差異

我想制度面應該是沒太大差別吧
課也是一樣的上, 作業也是一樣的出
我認為差別在人數,

2011年8月11日

創意時鐘

作者 Append (Append) 看板 Tass
標題 Re: [閒聊] 創意時鐘
時間 Thu Aug 11 21:17:22 2011
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※ 引述《Tass (塔矢)》之銘言：
:
: 快推，免得人家說我們看不懂!
: ----
: 說是創意時鐘不是數學時鐘的原因是因為我不覺得這是數學 xD
: 唯一"數學"的是 1,
: 但是這個很不 standard, 我查了資料才知道 \o\
: 1 - Legendre's constant is a mathematical constant occurring in a formula
: conjectured by Adrien-Marie Legendre to capture the asymptotic behavior of
: the prime-counting function. Its value is now known to be exactly 1.
: 比起來, 之前看過一個時鐘用四個 9 表示 1~12 的比較有創意