Modes of Convergence 整理

之前王振男有教過, 最近需要用到, 所以我再整理後 把他打出來:
我們著眼於以下四種收斂方式:

AU:    $f_n \to f$ almost uniformly
AE:    $f_n \to f$ almost everywhere
Ｍ:    $f_n \to f$ in measure
$L^1$:    $f_n \to f$ in mean


一、Arbitrary measure spaces

$\begin{array}{ccc}\text{AU}&\rightarrow&\text{AE}\\ \downarrow \\ \text{M}&\leftarrow&L^1\end{array}$

1. 證成關係都只是 checking definitions
2. 反例
AU $\not\to$ $L^1$ : $1/n \chi_{(0,n)}$
AE $\not\to$ Ｍ : $\chi_{(n,n+1)}$
Ｍ $\not\to$ AE : Typewritter seq
Ｍ $\not\to$ $L^1$ : $n\chi_{[1/n,2/n]}$


二、Finite measure spaces $(X,M,\mu)$

If $\mu(X)<\infty$, then
$\begin{array}{ccc}\text{AU}&\leftrightarrow&\text{AE}\\ \downarrow \\ \text{M}&\leftarrow&L^1\end{array}$
3. AE $\to$ AU 為 Egoroff 定理

三、Dominated Cases

If $|f_n|\leq g$ for some $g$ in $L^1$, then

$\begin{array}{ccc}\text{AU}&\leftrightarrow&\text{AE}\\ \downarrow \\ \text{M}&\leftrightarrow&L^1\end{array}$

4. AE $\to$ AU 為 modified Egoroff Theorem
5. Ｍ $\to$ $L^1$ 為 LDCT wrt conv. in measure


四、Existence of convergent subsequence

以 Ｍ $\overset{s}{\to}$AU 表
"若 $f_n \to f$ in measure, 則 $f_n$ 有 subseq $g_n \to f$ almost uniformly ", 以此類推

證明先證 $f_n$ 有 subseq $g_n \to g$ almost uniformly
    因此 $g_n \to g$ in measure 且 $g_n \to f$ in measure
    便可說 $g = h$ a.e. 得到 $g_n \to f$ almost uniformly

由一、的結果可推得以下結果:

    1. Ｍ $\overset{s}{\to}$ AU
    2. Ｍ $\overset{s}{\to}$ AE
    3. $L^1$ $\overset{s}{\to}$ AU
    4. $L^1$ $\overset{s}{\to}$ AE