李代數暑期課程 8/27(完)

1.
今天的主題是 representation of Virasoro algebra
Virasoro algebra 的意義是
"a central extension of the complex polynomial vector fields on the circle"
和理論物理有很深的關係
結構是 $\text{Vir} = \mathcal{W} \oplus \mathbb{C}c$

其中 $\mathcal{W} = \oplus_{n \in \mathbb{Z}}L_n$ 為 Witt algebra
$L_n = span\{-t^{n+1}(\frac{d}{dt})\}$
$c$ 為 central element
(表Virasoro algebra 是 Witt algebra 的 central extension)
滿足 $[c,L_n] = 0$ 和
$[L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n} + (1/12)(m^3-m)\delta_{m+n,0} c$

這邊的 1/12 只是係數 符合一些物理的習慣
我們知道:
1) $\text{Vir}$ 是唯一的 non-split 1-dim central extension of $\mathcal{W}$
2) integrable repn $L(\Lambda)$ of affine Lie algebra 必有 Virasoro action(待證)



2. 將 $\text{Vir}$ 作 triangular decomposition $\text{Vir} = \text{Vir}^+ \oplus \text{Vir}^0 \oplus \text{Vir}^-$
其中 $\text{Vir}^+ = \oplus_{n>0} \mathbb{C}L_n$
$\text{Vir}^0 = \mathbb{C}L_0 \oplus \mathbb{C}c$
$\text{Vir}^- = \oplus_{n<0} \mathbb{C}L_n$
一樣可定 Borel subalgebra $\mathfrak{b} = \text{Vir}^0 \oplus \text{Vir}^+$
和 1-dim $\mathfrak{b}$-action for all $c,h \in \mathbb{C}$

$\begin{matrix}\mathfrak{b}&\times&\mathbb{C}v_{c,h}&\rightarrow&\mathbb{C}\\(\text{Vir}^+&,& v_{c,h})&\mapsto&0\\(L_0&,&v_{c,h})&\mapsto&hv_{c,h}\\(c&,&v_{c,h})&\mapsto&cv_{c,h}\end{matrix}$
便有 Verma module $M(c,h) = \text{Ind}_{U(\mathfrak{b})}^{U(\text{Vir})} \mathbb{C}v_{c,h}; c,h \in \mathbb{C}$
(注意這邊有個 notation abuse: central elt 和 complex number $c\in\mathbb{C}$)
Fact:
(1) $M(c,h)$ 有 uniq maximal proper submodule $I(c,h)$
因此有 uniq irreducible submodule $L(c,h)$
稱 lowest weight repn of Virasoro algebra
(2) $M(c,h) = \oplus_{n \in \mathbb{N}_0} M(c,h)_n$
其中 $M(c,h)_n = span\{L_{-n_k}\ldots L{-n_1}v_{c,h}: \sum n_i=n\}$
$M(c,h)_0 = \mathbb{C}v_{c,h}$
這樣就有 character $\text{ch}M(c,h) = q^h \sum_{n \in \mathbb{N}_0} \text{dim} M(c,h)_n q^n$
因為 $dim M(c,h)_n$ 其實就是 $n$ 的 partition number $p(n)$
就有好的生成函數 可以把 character 寫的很漂亮
但是一般的 irred. module 便沒有這麼好的事
3. 看 lowest weight Virasoro module $L(c,h)$
可以證明 若要 $L(c,h)$ unitray (即它有 PD, invariant bilinear form)
則 $c<1$ 的情況 discrete
要滿足 $c = c_m = 1 - \frac{6}{(m+2)(m+3)}$
且 $h$ 也 discrete (這裡不寫出來)
4. 回來看 affine algebra
$\tilde{\mathfrak{g}} = \mathfrak{g} \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}] \otimes \mathbb{C}k \otimes \mathbb{C}d$
可依一連串定義造出 $\tilde{\mathfrak{h}}$-module $M(1)$
將 $\mathfrak{h}$ 中元素找 orthonormal basis $\{h_i\}$ 後
定 operator $h_i(n) = h_i \otimes t^n acts on M(1)$

再如同 Casimir operator 般
定 $L(m)$$:=$$\frac{1}{2}$$\sum_{i=1}^l$$\sum_{n\in\mathbb{N}}$$h_i(m-n)h_i(n)$ if $m\neq 0$
$L(0)$$:=$$\frac{1}{2}$$\sum_{i=1}^l$$\sum_{n\in\mathbb{N}}$$h_i(-n)h_i(n)$ if $m=0$
而 $span({L_m}\cup{\text{id}})$ 便與 $\text{Vir}$ 同構!
5.
甚之，在 simple lie algebra $\mathfrak{g}$ 上
若 $\mathfrak{h}$ is abelian，也有 Virasoro Lie algebra 的結構
此時沒有 orthogonal basis 可以找
但是我們有 basis 和 dual basis wrt normalized Killing form !
一樣經過複雜的定義和微調便可得出 Virasoro algebra structure
當我們看 $\widehat{sl(2)}$ unitary Virasoro rep 時
有 GKO-construction 可以實際構造出 lowest weight repn
大略的說
Virasoro algebra repn 有 central charge c.c.
其物理意義是 某東西的帶電量
數學意義是 central element action 的 scalar
可以證明
若 $V = L(\Lambda)$, $\Lambda$ 為 integral dominant weight of level $k$
則 c.c = $k\frac{\text{dim}H}{k+\check{h}}$
其中 $\check{h}$ 是 $\mathfrak{g}$ 的 dual coxeter number
$c$ 只可能是 $\text{dim}\mathfrak{h}$ - 某兩個子結構的 c.c.
既然要 $c< 1$ 那麼 也只有 $\text{dim}\mathfrak{h} = 1$ 的情況可能發生

也就是 $\widehat{sl(2)}$ 真的去算 c.c. 便是答案