1. 今天把李代數中不可或缺的工具都講了一遍
(程:"我當學生的時候 如果兩天之內跟我講這些 我不可能消化的了的")
(不過我之前有唸過 50% 還算可以跟上)
終極目標是: 有限複單維李代數的表現
a) 有限維 module $V$ of Lie algebra $\mathfrak{g}$ 必有 filtration
$ 0 \subsetneq V_1\subsetneq \ldots \subsetneq V_{n-1} \subsetneq V_n = V$ 使 $V_{i+1}/V_i$ irreducible
因此研究每個小單元"irreducible modules" 和把這些小單元裝起來的方法 ``extension problem''便可以完全解決問題
b) 易知若 $V$ is completely reducible $V = W_1\oplus \ldots\oplus W_n$
那麼令 $V_i = W_1\oplus \ldots\oplus W_i$ 當然是個 filtration
因為 $V_{i+1}/V_i = W_{i+1}$ irreducible
一般來說，這樣裝回去的方法不唯一
幸運的是，在 semisimple Lie algebra 中裝回去的方法是唯一的
這也就是 Weyl Theorem:
"任何有限維複單李代數的有限維 module $V$ 必 completely reducible"
需要用到 Casimir operator 來證明
是因為 somehow Casimir operator 落在 universal enveloping algebra 的 center
(simple Lie algebra $\mathfrak{g}$ 是沒有 center的 但其 universal enveloping algebra $U(\mathfrak{g})$ 卻有)
就可以把 representation split 開
c) 另一方面要探討 irreducible modules
要由舊的生成新的 irreducible representation 的方法如下:
(1) direct sum (很弱 得不到新資訊)
(2) tensor product (很強，不斷地 taking tensor 可生出很多新 irreps!)
(3) 找 dual space 再定 Lie bracket
(4) restriction (很自然的想法)
(5) induction (很複雜的作法 但是居然和 restriction dual!)
2. tensor product 這裡用了 universal 的說法:
先定義 balanced product over ring $R$
即看 right $R$-module $V$、left $R$-module $W$ 和 abelian group $A$ 有 $\phi: V \times W \rightarrow A$
使 $\phi(v\cdot r,w) = \phi(v,r\cdot w)$
即是讓 $R$ 中元素可以在兩個輸入端滑來滑去
再定義 tensor product 是 {all balanced product} 的 universal object
就是說 對於所有的 balanced product $(\phi,A)$
都有唯一的 abelian group homomorphism $f:T\rightarrow A$
使
$\begin{matrix} V\times W &\stackrel{\Psi}{\rightarrow}&T \\\downarrow\scriptstyle{\phi} & \swarrow\scriptstyle{\exists! f}\\A\end{matrix}$
這個 diagram commutes
就是說 tensor product 是保存資訊最完整的 balanced product
任何 balanced product 都可藉由 tensor product 來達成 (factor through)
3. 我們可以定義其 dual module $V^*$ 滿足
$(\mathfrak{g}\cdot f)(v) = -f(\mathfrak{g}\cdot v) \forall f \in V*, v \in V$
可以生成一對一對應
其中 (2) 和 (3) 會成立是為什麼呢
因為 Lie algebra 本身有 vector space 的結構
自然是他的 base field 的 2-sided module
可以定 tensor product
但是退而求其次 什麼樣的結構可以呢?
associated algebra可以嗎? group 可以嗎?
答案據說是 Hopf algebra (但是我還沒念...)
這個條件也同時保證了(3)的 isomorphic duality
4. 作為對 restriction 的對偶操作， induction 複雜的多
但是幸運地這個 induction 的概念和我們才講過的 universal object 性質很像
對於 Lie algebra $\mathfrak{g}$ 我們定義 enveloping algebra $(i,A)$
其中 $A$ 為 associated algebra，$i$ 為 Lie algebra homomorphism $\mathfrak{g} \rightarrow A$
(因為 associated algebra 有自然的 Lie algebra 結構)
而再定義 universal enveloping algebra $(\phi,U(\mathfrak{g})$ ) 是
{all enveloping algebra} 的 universal object，
就是說 對於所有的 enveloping algebra $(i,A)$
都有唯一的 associated algebra homomorphism $f:U(\mathfrak{g}) \rightarrow A$
使
$\begin{matrix} \mathfrak{g} &\stackrel{\phi}{\rightarrow}&U(\mathfrak{g}) \\\downarrow\scriptstyle{i} & \swarrow\scriptstyle{\exists! f}\\A\end{matrix}$
這個 diagram commutes
就是說 $U(\mathfrak{g})$ 是(in some sense)最大的 enveloping algebra
任何 enveloping algebra 的 homomorphism $i$ 都可藉由 $U(\mathfrak{g})$ 來 factor through
那麼因為 rep $\phi$ (或 module $V$) 可定 enveloping algebra $(\phi,End_\mathbb{C}(V))$
故 module 由 $U(\mathfrak{g})$ tensor 某些東西來建構再也合理不過了
這個定義有實在的構造法
就是定義 $T^{(k)}(\mathfrak{g})$= $\stackrel{\underbrace{\mathfrak{g}\otimes \ldots \otimes \mathfrak{g}}}{k~\text{times}}$
再定 $T = \bigoplus T^{(k)}(\mathfrak{g})$
我們要它有 Lie algebra structure 便是要 $[x,y] = x \otimes y - y \otimes x$
因此 quotient 掉這一類 便得 $U(\mathfrak{g}) = T/ \left\langle [x,y] - x \otimes y + y \otimes x\right\rangle$
又 $U(\mathfrak{g})$ 實在是太大了 要怎麼描述呢
我們便有 Poincare-Birkhoff-Witt Theorem 構造 PBW basis 來刻劃
都定義好了以後
就可以說 $\mathfrak{g}_1$-module $W$ 打到 Lie algebra $\mathfrak{g}$ 的 induced module 是
$\text{Ind}_{\mathfrak{g}_1}^{\mathfrak{g}}W = U(\mathfrak{g})\bigotimes_{U(\mathfrak{g}_1)} W$
( 即 U(g1) 的元素可作為係數在左右兩邊滑動)
其 basis 形如 $x_1^{k_1} \ldots x_n^{k_n} \otimes w_i$ 為 PBW basis 的特例
其中 $\mathfrak{g}_1$ 有 basis $\{y_i\}$
$\mathfrak{g}$ 有 basis $\{y_i,x_j\}$
$W$ 有 basis $\{w_i\}$
雖然這很複雜
但是確實是 restriction 的對偶操作
可以藉由 Frobenius Reciprocity 確認
$Hom(\text{Ind}_{\mathfrak{g}_1}^\mathfrak{g} W, V) \simeq Hom(W,\text{Res}_{\mathfrak{g}_1}^{\mathfrak{g}} V)$
5. 在 simple Lie algebra 中
有一類 subalgebra 地位很重要 即 Borel Subalgebra $\mathfrak{b}$
我們來討論所有 irreducible $\mathfrak{b}$-modules
討論 1-dim $\mathfrak{b}$-module 可造出 $C_\lambda$ 和 $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ 一一對應，更高維的 irre module 便是 Verma module $M(\lambda) = \text{Ind}_\mathfrak{b}^\mathfrak{g} C_\lambda$
細節待討論
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