李代數暑期課程 8/24

1. 猶記 Kac-Moody Algebra $\mathfrak{g}(A)$ 定義如下:
   先選一 Generalized Cartan matrix $A$
   根據 $A$ 的數值構造 Chevalley generators $\{e_i,f_i,\alpha_i\}$
   再生成 free algebra $F\left(\bigoplus (\mathbb{C}e_i\oplus\mathbb{C}f_i)\oplus\mathfrak{h}\right)$                              
   quotient 掉 Lie algebra 的 naive rule (R1) ~ (R3) 成 $\check{\mathfrak{g}}$
   再找其中 radical $\check{r}$ quotient 掉 得 $\mathfrak{g} = \check{\mathfrak{g}}/\check{r}$ 為 Kac-Moody algebra



   $\mathfrak{g}$ 的 representation $(V,\pi)$ 稱 weight module 即:
     $V = \bigoplus V_\lambda$, 其中:
                 $V_\lambda = \{y \in V: \pi(h)(y)=\lambda(h)y \forall h \in \mathfrak{h}\}$,
                 $\text{mult}_V(\lambda):= dim(V_\lambda) < \infty$

   一個 weight module 稱 integrable 即 $ad_{ei}$, $ad_{fi}$ 皆 locally nilpotent
   這裡 integrable 作"可整合"解釋，不是整數也不是積分
   因為 Lie algebra 的 representations 個數比 Lie group 的多
   只有少數可以被 lifted 到 Lie group representation 故稱 integrable

   易知 adjoint repn ad 為一 integrable repn

2. 對於 integrable repn $(V,\pi)$, 可定"反射"如:
     $s_i(\pi) = exp_\pi(f_i)exp_\pi(-e_i)exp_\pi(f_i)$

   因為每個 exp 都是 automorphism of $V$ (as a linear map but $\mathfrak{g}$-module)
   故乘起來也落在 $Aut(V)$ 中

   特別看 $\pi = ad$ 時可知 $s_i(\pi)$ 為 Lie algebra automorphism
   並且可證明他真的是反射
   故知 $\Delta$ is invariant under Weyl group $W$

3. Symmetrizable Kac-Moody algebra

   GCM $A$ 稱 symmetrizable 即
      存在可逆對角矩陣 $D = \begin{bmatrix}d_1&0&\cdots&0\\0&d_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&d_l \end{bmatrix}$ 使  $D^{-1}A$ 對稱
   此時生成的 $\mathfrak{g}(A)$ 便稱 symmetrizable Kac-Moody algebra

   可證存在"最小"(in some sense)的正整數係數可逆對角矩陣

   如 $A = \begin{bmatrix}2&-2\\-1&2\end{bmatrix}$ 便有 $D = \begin{bmatrix}2r&0\\0&r\end{bmatrix}$ 都可 但可選 $r = 1$ 為"最小"矩陣

   這樣生成的 symmetrizable Kac-Moody algebra $\mathfrak{g}$ 有什麼好處?
   可以證明 CSA $\mathfrak{h}$ 上可定 non-deg. $W$-invariant sym. bilinear form $(\cdot | \cdot)$
   之中有唯一的 bilinear form 滿足:

   1) $(\cdot | \cdot)\downarrow_{\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}}$ is normalized, 即:
          $(h | \check{\alpha_i}) = \alpha_i(h)d_i ~\forall i,h\in\mathfrak{h}$
   2) $(\cdot | \cdot)\downarrow_{\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}}$ 也 $W$-invariant
   3) $(\cdot | \cdot)$ is invariant (即 $([x,y]|z) = (x,[y,z])$ )
   4) $(\mathfrak{g}_\alpha | \mathfrak{g}_\beta) = 0 ~\text{if} \alpha+\beta \neq 0$
   5) $[x,y] = (x|y)\nu^{-1}(\alpha)$, 其中 $x \in \mathfrak{g}_\alpha, y \in \mathfrak{g}_{-\alpha}$

4. Casimir operator

   在 Kac-Moody algebra 中 Casimir operator 稍稍不同
   雖然我們直接定了
      $\Omega=2\nu^{-1}(\rho)+\Omega_0+\sum_{\alpha\in\Delta^+}\Omega_\alpha$

   但 $\Omega$ 只在 Category $\mathcal{O}$ 中元素 $M$ 上是 $\mathfrak{g}$-homomorphism
   也因此他只在 action on $M$ 上與 $\mathfrak{g}$ 交換

   可證 $\Omega m = (\lambda+2\rho|\lambda)m \forall m \in M$
      其中 $\lambda$ 是 highest module $M$ 的 highest weight

5. 例子: untwisted affine algebra
   $\check{sl(2,\mathbb{C})} = sl(2,\mathbb{C}) \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}] \otimes \mathbb{C}c \otimes \mathbb{C}d$
      其中 $c$ 為 central element, $d = t(\frac{d}{dt})$ 為 degree operator

   確有 $A = [2]$ 得 $\check{A} = \begin{bmatrix}2&-2\\-2&2\end{bmatrix}$ 生成對應的 Kac-Moody alg. 為 $\check{sl(2,\mathbb{C})}$