李代數暑期課程 8/26

1.
今天的主題是 Modular invariance of characters

猶記 highest weight $\Lambda$ 有對應的 Irreducible module $L(\Lambda)$
其 character 為 $\sum \text{dim} (L(\lambda))_\lambda e^\lambda$
可以像是 group character 一樣來看

得 $(\text{ch} L(\Lambda))(h) = \text{tr~exp}(h) |L(\Lambda)$
其中 $e^\lambda$ 視為 operator $\begin{matrix}H&\rightarrow& \mathbb{C}\\h&\mapsto&\text{exp}(\lambda,h)\end{matrix}$

2.
因為 $\mathfrak{h} = \mathbb{C}\kappa \oplus \mathfrak{h}^0 \oplus \mathbb{C}\delta$

故我們可以將 $(\tau,z,u) \in \mathfrak{h}^0\times\mathfrak{h}^0\times\mathbb{C}$ associate 成 $2\pi i(-\tau\kappa+z+u\delta) \in \mathfrak{h}$
便可定 $Y = \{ (\tau,z,u) : $ Im $\tau$ > 0 }
和 $N = \mathfrak{h}_\mathbb{R}^0$ $\times \mathfrak{h}_\mathbb{R}^0$ $\times i \mathbb{R}$ 作用在 $Y$ 上
和 $Y$ 上 theta function $F$
和 $P_k = {\lambda \in H: (\lambda|\delta)=k, \bar{\lambda} \in Q^*}$
    其中 $Q$ 是 root lattice
便可定 $\theta_\lambda = e^{\frac{-(\lambda|\lambda)\delta}{2k}}$ $\sum e^{t_\alpha(\lambda)}$滿足一些 periodic 的性質
知 $\theta_\lambda$ converges in $Y$ 也確為 theta function
能用來精簡 tensor decomposition 的運算
且構成了所有 theta functions of deg $k$ $\tilde{\text{Th}k}$ 的 basis

3.
令 $M_{p_2}(\mathbb{R})$ 為 $SL_2(\mathbb{R})$ 的 non-split double cover
即 $\{(A,j): A \in SL2(\mathbb{R}), j$  holomorphics in $\mathfrak{h} , j^2(\tau) = c\tau+d\}$
    其中 $\mathfrak{h}$ 為上半平面 $\{\tau: Im(\tau)>0\}$
也可以在 $Y$ 上定 action
運算後得 $M_{p_2}(\mathbb{R})$ normalizes $N$, $M_{p_2}(\mathbb{Z})$ normalizes $N_\mathbb{Z}$
意即  $M_{p_2}(\mathbb{Z})$ keeps Th invariant

4.
經過複雜的運算
得到一把 modular forms:

$\text{ch} L(\Lambda) (\tau,z,u)$
$\text{ch} L(\Lambda) (\tau,0,0)$
$\theta_\lambda (\tau,0,0)$
$\theta_\lambda|A (\tau,0,0)$
$\theta_\lambda|(\alpha,\beta,0) (\tau,0,0)$