1. 今天的主題是 Weyl-Kac character formaula
和有限維的狀況類似 我們需要 Verma module 來處理
而 Verma modul 有兩種定義
其中一種是之前說的由 Borel subalgebra induce 上來
可是這總是可以看成 universal enveloping algebra quotient 掉某些東西
另外一種定義就是
$M(\lambda) = U(\mathfrak{g})/K_\lambda$
其中 $K_\lambda = \sum U(\mathfrak{g})e_i+\sum U(\mathfrak{g})(h-\lambda(h))$
由 PBW 定理可以證明:
1) $M(\lambda) = U(\mathfrak{n}^-) v_\lambda$ for some $v_\lambda$
2) $v_\lambda$ 在 weight space $(M(\lambda))_\lambda$ 中
3) 這個 weight space $(M(\lambda))_\lambda$ dim 只有 1
4) $\text{ch}(M(\lambda)) = e^\lambda \Pi (1-e^{-\alpha})^-\text{mult}_\mathfrak{g}\alpha$
便能算最基本的 character
我們之後可以將 highest weight module $V(\lambda)$ of Kac-Moody algebra
由 filtration 拆解成 submodules
再計算各個 submodule 的 character 之後得到原 character
若我們能計算這個 Kac-Moody algebra 的 Weyl group
甚至能得到一個 closed form, 即 Weyl-Kac Character formula:
$\text{ch}V(\lambda) = \frac{\sum_{w\in W} \epsilon(w) e^{w(\lambda+\rho)-\rho}}{D}$
其中 $D = \sum_{w\in W} \epsilon(w) e^{w(\lambda+\rho)-\rho}$ 稱 Weyl denominator
2.
回來看 Verma module $M(\lambda)$
可以證他必有 maximal proper submodule $M'(\lambda)$
便可定 irreducible module $L(\lambda) = M(\lambda)/M'(\lambda)$
反過來看 category $\mathcal{O}$ 中 irreducible $L$ 也有 $L \simeq L(\lambda)$ for some $\lambda\in\mathfrak{h}^*$
3.
和有限維的 filtration 不同的是
這裡的 filtration 不一定會 quotient 到 0, 也不一定要 proper,
但保證可以 stable
即 $V(\lambda) = M_o \supseteq M_1 \supseteq \ldots$ 滿足:
1) $M_i/M_{i+1} \simeq L(\lambda_i) if i < k$
$M_i/M_{i+1}= 0$ if $k >> 0$
2) $|\lambda - \lambda_i| \geq |\lambda_{i+1} - \lambda|$
3) $\lambda_0 = \lambda$
4) $(\lambda_i+2\rho|\lambda_i) = (\lambda+2\rho|\lambda)$
其中 $\mu=\sum c_i\alpha_i \in$ root lattice $Q$ 可定義 $|\mu| = \sum c_i$
注意這不是絕對值 並且 $|\mu|$ 和 $|-\mu|$ 差一個負號
4.
猶記 short exact sequence 的性質有:
看 $0 \rightarrow N_1 \stackrel{\phi_1}{\rightarrow} N \stackrel{\phi_2}{\rightarrow} N_2 \rightarrow 0$
因為 $\phi_i$ 是 $\mathfrak{g}$-homomorphism
故可以把 weight space 各別打到 weight space
得
$0 \rightarrow \bigoplus_\mu (N_1)_\mu \rightarrow \bigoplus_\mu (N)_\mu \rightarrow \bigoplus_\mu (N_2)_\mu \rightarrow 0$
和
$0 \rightarrow (N_1)_\mu \rightarrow (N)_\mu \rightarrow (N_2)_\mu \rightarrow 0$
故有 $dim N_\mu = dim (N_1)_\mu + dim (N_2)_\mu \forall \mu$
得: $\text{ch} N = \text{ch} N_1 + \text{ch} N_2$
現在看
$0 \rightarrow M_1 \rightarrow M_0 \rightarrow L(\lambda_0) \rightarrow 0$
$0 \rightarrow M_2 \rightarrow M_1 \rightarrow L(\lambda_1) \rightarrow 0$
$0 \rightarrow M_3 \rightarrow M_2 \rightarrow L(\lambda_2) \rightarrow 0$
$\vdots$便有 $\text{ch}V(\lambda) = \sum \text{ch} L(\lambda_i)$
因此 Verma module 可以寫成 sum of $L$ wrt a partial order
把他們寫成矩陣便是一個下三角矩陣 故 invertible
故可以反過來將 $L$ 寫成 sum of Verma module
也因此 highest weight module $V$ 就可寫成 sum of Verma modules
便可以得到複雜的 character formula
5.
故我們看 Weyl group 中元素 $w \in W \subset Aut(\mathfrak{h}^*)$
因為 det 與 basis 無關 可定 $\epsilon(w) := \text{det}w$ in some basis
可以證 $w(e^\rho D) = \epsilon(w) e^\rho D$
因此經過一番暴力計算 便可得 Weyl-Kac character formula
6.
然後換 林正洪老師來講
主題是 Affine Lie algebra
雖然 character 是個 formal power series
但是我們仍然可以把它 span over $\mathbb{C}$
特別看那些 dominant integral weight 的 span
可以證明他是一個 modular invariant 的物件
譬如說它在 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用下 invariant
這代表他不僅和 Lie algebra 有關 能和更多物件有關
或是我們看 Heisenberg algebra 的 action
也是理論物理中常見的情況
7.
介紹 untwisted/twisted affine Lie algebra
簡單的說
原本我們只是將 Lie algebra g tensor 一個冪次 $t^*$
但是需要 central element $k$ 來讓這結構保持是個 Lie algebra
但是這卻不是一個 Kac-Moody Lie algebra
而且 bilinear form 在 $\mathfrak{h}^0 \oplus \mathbb{C}k$ 上 degenerate, 我們不喜歡
(其中 $\mathfrak{h}^0$ 是 $\mathfrak{g}$ 的 CSA)
故需加入一個 derivation $d = t(\frac{d}{dt})$
來造出 untwisted/twisted affine Lie algebra $\check{\mathfrak{g}}$
而且新的 Weyl group $W$ 結構簡單
只是舊的 Weyl group $W^0$ 去 semi-dirct product 一個"類似 $d$ 的反射"的 $T$
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