李代數暑期課程 8/18 (前半)

1.
今日上午蔡孟傑教授的課結束了
只可惜時間不夠 沒有講到他專長的 real lie algebra

2.
Finite-dimensional irreducible Lie Algebra representations 的分類
是由 Cartan 和 Weyl 在 1930's 完成的
他們把 $\widehat{L}$ 和 {all dominant integral weights $\lambda \in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^*$} 作 bijection


一個方向是
給 irreducible Lie module 都可以找唯一的 $\lambda \in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^*$ 滿足一些性質，使 $\lambda$ 作為 highest weight 存在

但是另一個方向
任給 $\lambda \in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^*$ 卻不一定能夠找到 irreducible module $V$ 打到 $\lambda$
唯有那些 dominant integral weight 才可以

3.
這是因為 finite-dimensional Lie Module $V$ 可以藉由 Weyl 定理知道它是 completely reducible
故可拆成 irreducible Lie modules 的 direct sum $V = \bigoplus_{i=1}^n V_i$
每個 $V_i$ irreducible，故有 unique highest weight $\lambda_i$

這些$\lambda_i \mathfrak{h}_{i_\mathbb{R}}^*$ 可以組出不同的 $\lambda \in \mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^*$
故不唯一

4.
講了一點 Lie group 和 Lie algebra 的對應
大意是這樣:

Lie group 本身是一個 manifold $G$，配有群的操作
使  $\begin{matrix}G&\times &G& \rightarrow & G\\(g&,&h)&\mapsto & gh \end{matrix}$
和 $\begin{matrix}G& \rightarrow & G\\g&\mapsto & g^{-1} \end{matrix}$
都 smooth

雖然可以定出 Lie Algebra $V(G)$  = {all linear derivation in $C^\infty(G)$}
但是: 我們不把這個 Lie Algebra 當作是 Lie group $G$ 對應的 Lie algebra, why?

1. 這個結構太大了 不好看
2. 只要 $G$ 身為 manifold 就可以定義  $V(G)$
   卻沒有用到 Lie group 的 group structure

因此我們定 $\mathfrak{g}$ 為 $V(G)$ 的 Lie subalgebra 並且稱之 "the" Lie algebra
即 $\mathfrak{g} = T_eG$ 為 left invariant vector field of $\begin{matrix}Lg:&G &\rightarrow & G\\&h&\mapsto& gh \end{matrix}$
         或說 tangent space at identity

5. 在算Lie group 對應的 Lie algebra 時需要用到:
[Closed Subgroup Theorem]
若 $G$ is a Lie group, $H$ is a closed subgroup in $G$
則 $H$ 也是 Lie group