Combinatorial Representation Theory of the Spin Symmetric Group

看看標題: Representation of spin symmetric groups
我們對裡面的字眼都很熟…除了 spin 以外
在對稱群表現中，我們研讀以下理論:

•  The character map
•  Tableaux and Robinson-Schensted-Knuth relation
•  Schur duality
•  Kostka numbers
•  Coinvariant algebra
•  Jucy-Murphy elements
•  Seminormal form representations
•  Young symmetrizers
•  Hecke algebras

而研究 spin symmetric group 白話的說就是把上面的東西推廣到 superalgebra (supermodule) 上

1.      為了研究 Sn 的 projective representations，定義 $\tilde{S_n}$ 為 $S_n$ 的double cover，即有 exact sequence

$1\rightarrow \{1,z\} \rightarrow \tilde{S_n} \rightarrow S_n \rightarrow 1$

Quotient 掉 $\langle 1+ z\rangle$ 得 spin symmetric group algebra

$\mathbb{C}S_n^-:=\mathbb{Z}\tilde{S_n}/\langle 1+z\rangle$

等價地 可以知道他是由 $t_1,\ldots, t_{n-1}$ 生成的 superalgebra (有 $\mathbb{Z}_2$ grading)，滿足以下關係:

$\begin{array}{lll}t^2=1 & 1\leq i\leq n-1\\t_i t_{i+1}t_i = t_{i+1}t_i t_{i+1} & 1\leq i\leq n-2\\t_it_j = -t_jt_i & |i-j|>1\end{array}$

2.      我們證明了 $\{\text{representations of }\mathbb{C}S_n^-\}$ 和 $\{\text{representations of }\mathcal{H}_n\}$ 間有一一對應，因此研究就轉到 $\mathcal{H}_n:=\mathcal{C}l_n\ltimes S_n$ 身上，其中 $\mathcal{C}l_n$ 為 Clifford algebra，$\mathcal{H}_n$ 稱 Hecke-Clifford algebra。

3.      Supermodules of type M and Q

Wall 證明了有限維 simple superalgebra over $\mathbb{C}$ 只有兩類: type $M$ and $Q$, 即

Matrix superalgebra $M(m|n)$ 和 $Q(n) =\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}$

因此就可以講 super 版本的 Wedderburn 定理和 Schur’s Lemma

4.      Twisted Hyperoctahedral Group

twisted hyperoctahedral group $\tilde{B_n}$ 是 hyperoctahedral group $B_n:=\mathbb{Z}_2^n\ltimes S_n$ 的其中一種 double cover (恰好不是平常我們看的那種)，即有 exact sequence

$1\rightarrow \{1,z\} \rightarrow \tilde{B_n} \overset{\theta_n}\rightarrow B_n \rightarrow 1$

其中 $\theta_n$ 把 $S_n$ 中元素送到 1，$\mathbb{Z}$_2 中元素送成 generator. 換個方式寫就知道他是 finite Clifford group 和對稱群的 semidirect product。

同樣 Quotient 掉 $\langle 1+z\rangle$ 得 Hecke-Clifford algebra

$\mathcal{H}_n\simeq\mathbb{Z}\tilde{B_n}/\langle 1+z\rangle$

因此我們就是要算 spin simple supermodules 有多少個

5.      Super Character Table

看 $B_n$ 中的 conjugacy class $C$，我們知道他在 $\theta$ 的 preimage 下也是 conjugacy class，或是 split 成兩個 c.c.，可以證明 simple spin $\tilde{B_n}$-supermodule 的個數和 even split conjugacy classes of $B_n$ 的個數一樣，就可以畫出 super character table

也可以證明 c.c. 以 partition type $(\rho^+,\rho^-)$ 分類，並證明 even conjugacy classes 是 split 的充要條件是 $\rho^+$ 是 odd partition $\mathcal{OP}_n$ 就可以把 super character table 寫得更清楚

6.      Basic Spin Supermodule

就如同我們在 Lie theory 中建構 Verma module，在群表現中建構 induced trivial modules 一樣，我們想要如法炮製在 spin representation theory 上，但是因為我們沒辦法用 trivial representation，所以我們得找一個最小的，也就是 basic supermodule $\mathcal{C}l_n$:

其中 $\mathcal{C}l_n\subset \mathcal{H}_n$ 的作用是左乘，$S_n\subset \mathcal{H}_n$ 的作用是 permutes index of generators。

給定 partition $\mu=(\mu_1,\mu_2,\ldots)$, 再定 young subgroup $S_\mu:=S_{\mu_1}\times S_{\mu_2}\times \ldots$ 這樣就可以定 permutation module

$M^\mu:= \mathcal{H}_n \underset{\mathbb{C}S_\mu}{\otimes} 1\simeq \mathcal{H}_n\underset{\mathbb{C}S_n}{\otimes} \left(\mathbb{C}S_n \underset{\mathbb{C}S_n}{\otimes}1\right)$