[2010 Winter School] Affine Schubert Calculus

Affine Schubert Calculus

動機:
1.
在 Schubert Calculus 中, 我們有個重要的結構

$\text{ring } H^\cdot(\mathcal{F}l)=\bigoplus_w \mathbb{Z}[X^w]$

可拆解成 basis $[X^w]$ 滿足

$[X^u][X^v] = \sum_w c_{uv}^w [X^w]$

其中 $c_{uv}^w$ 稱 Littlewood-Richardson coefficient, 恆非負 並且有 “intersection multiplicities”…等很好的幾何意義。

2.
在 Affine Grassmannian $Gr_G$中, 我們也有個重要的結構

$\text{ring } H_\cdot(Gr_G)=\bigoplus_w \mathbb{Z}[X_w]$

可拆解成 basis $[X_w]$ 滿足

$[X_u][X_v] = \sum_w d_{uv}^w [X_w]$

其中 $d_{uv}^w$ 稱 Gromov-Witten invariants, 恆非負。\\
一來 $ H_\cdot(Gr_G)$ 和 $ H^\cdot(Gr_G)$ 之間有對偶關係 (Hopf duality), 二來 $ H_\cdot(Gr_G)$ 有個 ring homomorphism 打到 Sym，也因此我們預期可以找到另一類 symmetric functions 的 basis。


預備知識

1.     Cartan datum 
$(I,A)$, 其中 $I$ 為 Dynkin node set, $A$ 為對應 Dynkin diagram 的 matrix。

2.     Weyl group 
$W(I,A)$ 由 simple reflections $s_i$ 生成，其 relations in presentation由矩陣 $A=[a_{I,j}]$ 決定，即要滿足 $s_i^2=1$ 和Serre relations。

3.     Bruhat Ordering: 
Weyl group 上可以定一個 partial order，可以證明

$v\leq w \Leftrightarrow$ 任何 $w$ 的最簡表示中必有一片段是 $v$ 的最簡表示

4.     Affine Dynkin Diagram

就真的畫出了 type $A$ to $D$ 的 affine Dynkin diagram，沒有要定義一般狀況

如果一個點可經由 graph automorphism 移到 node 0 則稱之為 cominuscule，因此我們可以定義 set of cominuscule nodes 作 $I^S$。

5.     Root Datum

採 Kac 的方法，定成 $(I,A,X,X^*,\{\alpha_i\},\{\alpha_i^\vee \})$

$X$ 為選定的 free $f\mathbb{Z}$-module ，其上可以定 roots $\{\alpha_i\}$

$X^*$ 為對應的 dual module ，其上可以定 coroots $\{\alpha_i^\vee\}$

就可以定 root lattice $Q$ 和 coroot lattice $Q^\vee$

Root datum 稱 centerless iff rank($X)= |I|+$nullity$(A)$

6.     Affine Root Datum

定成 $(I_{\text{af}},A_{\text{af}},X_{\text{af}},X_{\text{af}}^*,\{\alpha_i\},\{\alpha_i^\vee\})$ 其中

$I_{\text{af}}:= I \cup\{0\}$

$A_{\text{af}}$ 由前面的 affine Dynkin diagram 決定

$X_{\text{af}}:= X \oplus \mathbb{Z}\delta \oplus \mathbb{Z}\Lambda_0$

    其中 $\Lambda_i:$ 為 fundamental weights,

$\delta:=\sum\limits_{i\in I_{\text{af}}}a_i\alpha_i$ 為 null root.

$X_{\text{af}}^*$ 為 $ X_{\text{af}}$ 的 dual，定 $d$ 為 $\delta$ 的 dual

7.     Level, colevel

定義 canonical central element $c:=\sum\limits_{ i\in I_{\text{af}}} a_i^\vee\alpha_i^\vee$ 就有

level$(\lambda):=\langle c,\lambda\rangle$

colevel$(\mu):=\langle \mu, \delta\rangle$

便可以定義 level m action of $W_{\text{af}}$ on coroot lattice $Q^\vee$

8.     Nil Hecke Ring

固定一個 root datum，可以定 $S:=$Sym$(X)$ 為多項式環 和其分式域 $F:=$Frac$(S)$  就有 skew group ring

$F_W := \bigoplus_{w\in W} Fw$

就有 $A_i:=\alpha_i^{-1}(s_i-1)$ 滿足 $A_i^2=0$ 和Braid relations。