Ore Conjecture

今天去台南聽 mini workshop on algebra
原本旨在聽 cluster algebras 的
但是卻有意外的收穫
O'Brien 的演講 style 實在是很好
然後我才知道原來他們 (Liebeck, O'Brien, Shalev, Tiep, 2009)
把 Ore's conjecture 給證出來了
(然後原來 Ore 念 歐瑞 不是 歐爾 xD)
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Ore 猜想是說
任何有限非交換 simple group 的元素都是 commutator

Ore 自己證了 Alternating groups An 會對
但是由有限單群分類定理
我們還有 Groups of Lie Type 和 sporadic groups

LOST 的證明結合了群表現和 random walk!
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他們證明了 g 是 commutator 的充要條件是

$\left|\sum\limits_{\chi\in\text{Irr}(G)} \frac{\chi(g)}{\chi(1)}\right|<1$

然後這個式子由群表現知道可以用 centraliser $C_G(g)$ 的大小估計
證明上式的主要貢獻來自於 trivial representation
由 Shalev 的機率結果(2009) 知道

#{ (x,y) : g = [x,y] } = |G| ( 1 + o(1) )
其中 o(1) → 0 as |G| → ∞
所以幾乎所有的 g 的 centraliser 都"夠小"

怎麼證 上式的主要貢獻來自於 trivial representation 呢?

(Nontrivial) Induction on rank!

用感覺來說
要將 g 拆解成 Jordan blocks, 每個 block 都落在 classical groups 中
這樣我們就可以把元素 g 分為 breakable 和 unbreakable
證明 unbreakable 會對就好
(這裡要證一些 perfect group 的理論 略過)

然後就是可怕的估計
以 $\text{Sp}_{2n} (q)$ 為例
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Lemma
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If n > 6, x is unbreakable in G = $\text{Sp}_{2n} (2)$
Then |$C_G(x)$| < $2^{2n+15}$
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Theorem (2009)
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# conj. classes of G
:= k(g) = $\text{Sp}_{2n} (q)$ ≦ 12 $q^n$ if q odd
                          17 $q^n$ if q even
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Theorem (2004)
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In G = $\text{Sp}_{2n} (q)$
χ(1) ≧ blah for 1 case
χ(1) ≧ blah otherwise
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Cor
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$\sum\limits_{\chi\in\text{Irr}(G)}|\chi(g)|\leq (k(g) |C_G(g)| )^{1/2}$

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因此硬估計
一個 case < 0.2
另一個 case < 0.6
加起來 < 1 證完了 $\text{Sp}_{2n} (q)$ !

其他的 cases 也很麻煩
還有 sporadic group 也需要 character table 的資訊
加起來總共跑了 3 年的電腦
不過總算把這個猜想解決了


參考: http://larmor.nuigalway.ie/~detinko/Eamonn.pdf