sl(2,C) 中的 nontrivial extension

這又是一個 Humphreys 沒講清楚的地方了

本篇目標是要證

g = sl(2,C) 中

看 positive integral weight λ 和他的 linked pair μ = -λ-2

L(μ) 的 projective cover P(μ) is self-dual

即 P(μ) = Q(μ)

方法是先證 Q(μ) 的 composition factors 依序為 L(μ), L(λ), L(μ)

再證 comp. factors 依序為 L(μ), L(λ), L(μ) 的 indecomp. module M 唯一

1.  證 Q(μ) 的 composition factors 依序為 L(μ), L(λ), L(μ)

因為 P(μ) 有 exact seq:

        0→M(λ)→P(μ)→L(μ)→0

故 Q(μ) 有 exact seq

        0→L(μ)→Q(μ)→M(λ)ˇ→0

因此 Q(μ) 的 composition factors 只可能為

(1) L(μ), L(λ), L(μ)

(2) L(μ), L(μ), L(λ)

兩種

但是因為 Ext(L(μ), L(μ)) = 0, 故第 2 種不合

2. 證 comp. factors 依序為 L(μ), L(λ), L(μ) 的 indecomp. module M 唯一

因 dim Ext(L(λ), L(μ)) = 1

故 short exact seq

        0→L(μ)→E→L(λ)→0 讓 E 一定要是 M(λ)

故 M 有 short exact seq

        0→M(λ)→P(μ)→L(μ)→0

如果 dim Ext(L(μ), M(λ)) =1 就證完了

我們 apply Hom(L(μ),?) 在 0→L(μ)→M(λ)→L(λ)→0 上

得 long exact seq:

    Ext(L(μ), L(μ))→Ext(L(μ), M(λ))→Ext(L(μ),L(λ))→Ext^2(L(μ),L(μ))

即

        0 → Ext(L(μ), M(λ)) → C → 0

得證

---

diagram chasing 好好玩