[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the Category O Chp 3.9~15

Chapter 3: Category O: Methods
這是充滿了箭頭的一篇筆記 \o\



3.9 Indecomposable Projectives

介紹 projective cover/ injective hull
論述 Artinian category 若有 enough projectives 則必有 projective cover
在 category O 中,
    我們可以把 weight λ associate 到一個 proj cover P(λ)
    證明它是一個 indecomposable projective module
    有 epimorphisms P(λ)→ M(λ), 和 P(λ)→L(λ)
    且任何 O 中 indecomposable projectives 都和某 P(λ) 同構
因此我們可以計算

    dim Hom(P(λ), M) = [ M: L(λ)]

可以把 composition series factor 和 projective module homomorphism 連在一起


3.10 Standard Filtration of Projectives

我們證明 O 中任何 projectives 都有 Verma flag

方法是證明 P(λ) 會是 M(μ) tensor L(nρ) 的 direct summand
其中 μ 是 λ 的 dot orbit 中的 dominant weight
我們知道 M(μ) 有 Verma flag            因 dominant weight
      => M(μ) tensor L(nρ) 也有       因 tensoring fin dim module
      => P(λ) 也有                     因 他是 direct summand
      => P 也有                         因 P = ⊕P(λ)

此外，根據這個作法 我們知道 P(λ) 的 Verma flag 中出現的 weight 都要比 λ 大

因此我們可以用下三角矩陣來作基底變換
把 ch M 換成 ch P
也就是說 projective module P 可以由 formal character 唯一決定
並且 [L], [M], [P] 都是  Grothendieck group 中的線性獨立集


3.11 BGG Reciprocity

綜合前面的結果
我們得到 BGG Reciprocity

        (P(λ):M(μ)) = [M(μ):L(λ)]

將 composition series 和 Verma flag 連在一起
也就是賦予 Verma module 了 categorical meaning (as a intermediate stage)

並且用 BGG reciprocity 證明

λ is dominant <=> M(λ) is projective


3.12 Example: sl(2,C)

證明了 sl(2,C) 中 indecomposable modules 只有五種

L(λ)
M(μ)=L(μ)
M(λ)=P(λ)
M(λ)ˇ=Q(λ)
P(μ)=Q(μ)

大量的使用了 homological algebra, 分析各種 extension 的可能

3.13 Projective Generators and Finite Dimensional Algebras

大略提了一下 projective generator

和

The functor HomO (P, ?) defines a category equivalence between
Oχ and the category of "finite dimensional right A-modules".

3.14 Contravariant Forms

假設 nonzero contavariant forms 存在,
證明了一些 contravariant form 的性質

3.15 Universal Construction

證明 nonzero contavariant forms 存在