[轉錄] 從鋼琴調音談數學與音樂

閏餘成歲, 律呂調陽。— 〈千字文〉。

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d331/33102.pdf

這是教官在二○○七年全國高中數學能力競賽的專題演講，
後來登在數學傳播上
http://www.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=331

我覺得相當的精彩


譬如說:

傳說中畢達哥拉斯(Pythagoras (579-520 B.C.)) 路過一家鐵匠店發現四個鐵匠打鐵
的聲音異常悅耳而開始研究聲音。他用以下的兩個規則試圖建立起西洋音樂的音階。

1. 由v → 2v    : 高八度。
2. 由v → $\frac{3v}{2}$: 完全五度。

現行的西方音樂是12 音階, 即一個八度共有12 個半音。我們按照畢達哥拉斯的兩個
規則可幫樂器調音: 以中央C 為基準。設這個音的頻率是v, 則高八度的C 頻率是2v,
高八度 G 的頻率是3v。

因此G 的頻率是 $\frac{3v}{2}$。因此我們得到G 的頻率了。
同理, 下一個得到的音是D, 頻率為 $\frac{9v}{8}$.
再下一個得到的音是A, 頻率為 $\frac{27v}{16}$。

在此我們要強調, 這個調音方法是合理的, 是符合大自然的規律的。
按此我們可得到調音的順序:

C → G → D → ...

注意到每下一個音是完全五度(7 個半音),
但因為一個八度有12 個半音,
而 gcd(7, 12) = 1, 因此會繞回來。

這樣繞一圈回來所出現的音的順序, 稱為一個五度圈。
五度圈是古典音樂中所有轉調與和聲的基礎。 ...

(略)

但是按照大自然的規則調音, 調出來的音階是走音的。而且還往上走音，永遠調不準!

... 追根究底, 就是一開始打定一個八度有12 個半音, 這是錯誤的抉擇。那放開這個
假設, 假設一個八度有若干個半音,那按照大自然的規律, 這個若干要是多少? 這相當
於要求 (3/2)a = 2b 的正整數解。就是要求

                                  $2^x = 3^y$

的正整數解。很不幸, 根據算術基本定理, 這是不可能的。因此, 調音永遠調不準, 不
管一個八度有多少半音都一樣, 反正就是想按照大自然的規律調音, 一定調不準。

這是非常令人驚嚇的哲學性問題。音樂不過就是空氣的震動, 所有理論的發展都應該依
循著大自然的規律。但是我們用數學證明了, 整個音樂系統有根本的缺陷... (略)