Enough!! projectives....

今天證完 Category O 有 enough projectives
讓我真想說 夠了! projectives...

Chapter 3: Category O: Methods

Hom and Ext
Duality in O
Duals of Highest Weight Modules
The Reflection Group W_[λ]
Dominant and Antidominant Weights
Tensoring Verma Modules with Finite Dimensional Modules
Standard Filtrations
Projectives in O

3.3
承接上次講的 restricted dual module 的 extension 刻劃
接著開始處理 nonintegral weight 的 composition factor
因此我們要介紹 Jantzen 引進的 W_[λ]

3.4
因此 linkage class W‧λ就可以拆成 dot orbit W_[λ_i]‧λ_i
並且可以證明這些 dot orbit 就是 category O 的 block

3.5
再來是 (anti)dominant weight
證明它是該 dot orbit 中的 minimal/maximal element
和 antidominant λ 的 Verma module 必 simple
(未來會證這其實是充分必要條件)

3.6
再來介紹定義 Translation functor 的預備知識
即是一 Verma module tensor 有限維 module 的手法
使得新的 module 的 Verma flag 的成分一目瞭然

我們可以透過 tensor identity 來證明
也可以直接構造 再比較 formal characters 得證

3.7
介紹了 Verma flag
證明一些 proposition, 說什麼情況下可以保證有 Verma flag
什麼情況沒有 並給出反例
最後將 Verma flag filtration length 和 M 到 M(λ) check 的 hom 之維度連結

3.8
介紹了 projective module 及其 lifting property
由前面幾節的引理構造了 category O 中兩類 projective modules
再證明 category O 有 enough projectives