Homological Algebra Used in Lie Algebra Representation Theory

禮拜五學長問了程舜仁使用 homological algebra 來處理李代數表現論的動機:
我大略簡記一下 有誤麻煩請糾正我 @@



1. 二十世紀初, Frobenius, Schur 等人研究群表現
   把 group algebra $\mathbb{C}[G]$ 上的結構研究的很好

2. 1950 左右, Brauer 研究 K[G], 其中 K 是 field of char p
   這樣一來原本好好的東西都崩潰了

   追根究底是因為 $\mathbb{C}[G]$ is a semisimple ring
   因此 functor $\text{Ext}^1$ = 0
   任何 extension 都是 trivial extension

   但是 K[G] 卻不是 semisimple, 它有 radical 而且不好看
   因此會有 nontrivial extension 出現

   這時候大家大量的使用 homological algebra 的技術
   把 Endomorhism algebra 摸得很熟

3. 同時大家也在研究無限維 Lie modules Mod $U(\mathfrak{g})$
   這個 category 大到無法想像
   所以我們只好退而求其次 研究 category O,
   雖然已經縮小了 但是對我們來說當時他仍然大得無法想像

   1966 年, Verma 的博士論文提出了一個突破性的看法
   以現在的語言來說 就是 $\text{End}_{\mathcal{O}} \mathcal{O}_\chi$ 是個 finite dimensional algebra

4. 這下好了 以 BGG (Bernstein, Gelfand and Gelfand) 為首的數學家
   開始把 homological algebra 那一套搬過來用 得到相當多好結果