[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 6-2)

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6.6

用 BGG resolution 證明
Bott's dimension formula on Lie algebra cohomology

6.7 ~ 6.8

目標: 將 BGG resolution 中每一層的 map 清楚地表示
並證明凡是在 Bruhat ordering 中有關的兩 summands 之間的 map 都是個
nonzero scalar map

6.9

大量運用同調代數方法, 證明 principal block 的 global dimension 是 $2 l(w_\circ)$
其中 $w_\circ$ 是 Weyl group $W$ 中的 longest element

6.10 ~ 6.13

大量運用同調代數方法, 刻劃 High Ext groups 非零的充分必要性
特別是

$\text{Ext}^n(M(\lambda),M(\mu))$ 和
$\text{Ext}^n(M(\lambda),M(\mu)^\vee)$

都有好結果
並且依此判定 module $M$ 有 Verma flag 的充要條件

6.14

用 High Ext group 的觀點定 Euler characteristics
並且得出 Category O 中任意 module 的 character formula