翁秉仁（台大數學系）
這些年來的小學數學教育改革，逐漸在淡化計算的重要性，美其名為強調數學的理解與生
活的應用。每當教學時數不夠時，就要削減枯燥的計算與相關練習的份量。當小朋友無法
負荷計算時，則藉新科技的威名，要學生使用電算器。這些說法都有局部的道理，但是整
個拼湊起來，就是有點問題。本文主要是想說明，這樣的作法，並沒有辦法培養學生的數
學能力，進行真正實用的解題應用。其關鍵就在於整塊拼圖板上，少了國小數學教育最關
鍵的一塊拼圖─計算能力。
小朋友怎麼學騎腳踏車
觀察小朋友學騎腳踏車，對（數學）教育工作者是一個很有啟發性的過程：
教小孩騎腳踏車，經常得先有伏筆，也許家長先讓他騎騎安全的三輪車，可以到處遊走，
或是家長騎著腳踏車載著他到處去逛，享受自由的樂趣，製造他學習的動機。
正式學習腳踏車的過程，開始經常都很混亂，這牽涉到小朋友本身的身心狀況、教與學的
溝通方式、各式各樣怎麼快速學會腳踏車的秘方。有些小朋友很快就學會，有些則是因為
連番受挫（摔跤、挨罵），乾脆將腳踏車束之高閣。但是學騎車大概有幾點共通的想法：
從與小朋友體型配合的車子學起；在空曠的地方學；家長必須要有耐性，但是不能焦慮；
找到恰當的教學門徑；知道小朋友學騎腳踏車，最常犯的錯誤。但是顯然的，並不是一定
要具足這些條件，才能學腳踏車，小朋友的動機與韌性，經常能夠克服惡劣的學習條件。
而且沒有家長會教小朋友先理解騎腳踏車的動力學原理，事實上，理不理解一點關係都沒
有。
剛學會騎腳踏車並不算真的學會，不然我們就不會遇到許多自稱會騎車的大朋友，騎起車
來卻險象環生。一般來說，能夠開始騎車的小朋友，多半都會對這個賜給自己自由的新工
具躍躍欲試。於是，當小朋友開始能搖搖晃晃自己上車、起動、出發後，家長就應該帶著
他到處晃，讓他在練習中理解自己車子的性能、一般的路況（路面、坑洞、上下坡、轉彎
、寬窄）、與其他人車的互動。經過相當的練習與「出事」後，小朋友才能真正掌控整個
騎車的感覺，而且開始在騎車時，耍出各種爸媽看了提心吊膽，自己得意萬分的花招。
光是知道怎麼騎車是不夠的，而是那種能夠讓騎車與環境產生一種純熟一體的默契感，才
足以稱之為車感。只有這樣的車感，才能夠整個被轉移到大腦的記憶中，變成宛如天生的
一種延伸的肢體感。不只可以讓他隨時騎車遨遊，而且就算是臨時換一部陌生的車子，也
能很快地駕馭它，甚至日後改騎機車、開車時都有一定的助益。
腳踏車是一種工具，但靈活的車感很難說成只是一種工具。它是一種經由學習卻近乎天生
的能力；它是一種人類限制的解放，一種自由，一種信心；它更是一種博藍尼（M.
Polanyi）所說的默會知識（tacit knowledge），它純熟到潛入我們的意識底層，在背景
中默默支援著我們其他焦點知識的習得。默會知識越豐富，所能連結與體認的新知識就越
多，學習也越容易。
如果大人仔細反省一下自己的能力，有多少稱得上是純粹天生的？到底有多少「天生」的
能力，其實只是已經遺忘的學習痕跡。俗語常說的「熟能生巧」，十分警要。許多事情要
「巧」才有好處，而「巧」的前提就是要「熟」。我們的能力，有相當多都是經過類似騎
腳踏車這樣的過程建立起來的，其中又以語言與計算是其中最具一般性的重要能力。
範例：乘法的腳踏車
套用騎腳踏車的過程到乘法計算的學習上，有許多驚人的神似之處，相當程度掌握了
計算之所以重要的精髓，讓筆者將它整段「翻譯」過來：
教小孩學乘法計算，經常得先有伏筆，我們先讓他學習加法、連加法、幾個一數，讓他在
生活上可以應用，或是大人可以帶著小朋友到店裡去購物、點數，讓小朋友知道乘法的神
奇，並製造他學習的動機。
正式學習乘法的過程，開始經常都很混亂，這牽涉到小朋友本身的身心狀況、教與學的溝
通方式、各式各樣怎麼快速學習乘法的秘方。有些小朋友很快就能學會，有些則是因為連
番受挫（算錯、太慢、挨罵），乾脆將乘法束之高閣。但是學乘法計算大概有幾點共通的
想法：先從九九乘法學起；要有寬裕的時間；教師或家長必須要有耐性，但是不能焦慮；
要找到恰當的教學門徑；知道小朋友學乘法時，最常犯的錯誤。但是顯然的，並不是一定
要具足這些條件，才能學乘法，小朋友的動機與韌性，經常能夠克服惡劣的學習條件[1]
。而且沒有教師會教小朋友先理解乘法的數學原理（指乘法計算的分配律原理），事實上
，理不理解一點關係都沒有。
剛學會乘法並不算真的學會，不然我們就不會遇到許多自稱已經學過乘法的學生[2]，算
起乘法來還是險象環生。一般來說，開始學會乘法的小朋友（尤指九九乘法），多半都會
對這個賜給自己自由的新工具躍躍欲試。於是，當小朋友開始能一步步慢慢計算後，教師
就應該盡量提供他各式各樣的練習與應用機會，讓他在練習與應用中理解乘法的意義、乘
法計算的內在技巧，以及乘法在日常生活中各式各樣的應用。經過相當的練習與犯錯後，
小朋友才能真正掌控整個乘法計算的感覺，開始在計算問題時，耍出各種爸媽看了也自嘆
不如，自己得意萬分的花招。
光是知道何謂乘法計算是不夠的，而是那種能夠讓（乘法）計算的內部連結與外部應用產
生一種純熟一體的默契感，才足以稱之為數字感。只有這樣的數字感，才能夠整個被轉移
到大腦的記憶中，變成宛如天生的一種延伸的心智能力。不只可以讓他隨時都能計算，而
且就算是學習看似陌生的除法時，也能很快地駕馭它，甚至日後改學分數、小數甚至實數
時都有一定的助益。
計算是一種工具，但計算能力很難說成只是一種工具。它是一種經由學習卻近乎天生的能
力；它是一種人類限制的解放，一種自由，一種信心；它更是一種博藍尼所說的默會知識
，它潛入我們的意識底層，在背景中默默支援著我們其他（數學）知識的習得。
這樣的「翻譯」，在細節上當然有不如人意的地方[3]，不過它相當程度地反應出計算能
力習得的過程與要件，以及掌握計算前後那種判若雲泥的差別。
帶過小孩學習九九乘法的家長，大概都經歷過一段類似教小孩騎車的過程（除非是強迫背
誦）。起初小朋友會想盡辦法用連加法去計算一個倍數問題，不管加幾次他也不在乎，而
且可能會對九九乘法表這種死背的東西嗤之以鼻。家長只有陪他慢慢磨，不斷威脅利誘。
最後當他終於開始背了之後[4]，事情就會產生劇烈的變化，他會開始要求家長用各式各
樣的問題來「考」他，一夜之間，連加法變成石器時代的工具，差別就像「在天上飛」與
「在地上走」一般。
因此建構不背九九乘法的理念，犯了一個相當不可能的明顯錯誤，也許只能歸諸於它根深
蒂固的意識型態。用騎腳踏車來比方，一般家長再怎麼樣不會教，沒有耐性，但是他們可
都很清楚騎腳踏車與走路的差別是什麼。結果，被他們託付來教小孩騎腳踏車的教師，卻
有耐性或散漫到只要求學生摸摸車子；騎個兩三下就下車；不管到哪裡，你要走要跑都行
，只要能到就好；真的太慢了，就用遊覽車來載（即電算器）。你說學生不知道腳踏車，
他還真摸過看過；你說學生不懂騎腳踏車，教師說我有講解過騎車的原理是什麼。你說學
生不會騎，他也能騎個兩三步搖搖晃晃；你說學生不能到處自由探索，他說自由得很，走
路就行；走不動，就派遊覽車專車接送。會騎腳踏車的家長怎麼想都不對勁，卻又說不出
個名堂。其實說穿了，就是這樣根本不能稱為學會騎腳踏車。這些學生缺乏能自我掌控的
流暢車感，也就是上路之後那一大段熟習路況、練習與摔跤的過程。
計算為什麼重要
到底在小學時期的數學，是理解比較重要？還是計算比較重要？在網路的BBS上，筆者曾
經看過類似這樣的一段文字「我們的小孩為什麼要學計算背公式，那是想要變成專家、數
學家的人學的，我們的小孩只要理解數學就可以了。」這段話，大概會讓所有的數學家張
目結舌、跌破眼鏡，因為泛泛來說，大概只有數學家認為自己是理解數學的，而背公式這
種事才是非數學專業的人該作的事。不過更公允地意見是，在小學階段[5]，計算絕對不
可能比理解更不重要。因為不管是就實用的觀點、心智訓練的觀點、甚至就理解的觀點來
說，計算能力都處於核心的位置。用更嚴峻的話來說，光靠「理解」根本不可能理解數學
。
這位家長的留言，當然也反映出舊日數學教育的缺點，傳統教育可能讓這位家長在日常生
活的數學應用上，比現在的小孩純熟，但是過多的背誦、練習，也讓他視數學為畏途，有
朝一日當他開始帶小孩讀數學時，才慢慢發現原來過去所學的數學，其實深有道理，於是
一個太快的結論就是，我們應該教小孩學習理解數學，而不是去背誦過去那種冰冷的公式
，公式就留給那些數學怪人去背（因為這都是他們發明的），我們的普通小孩只要理解數
學就行了。這是一種許多人（包括教師）都可能發生卻似是而非的論點。這樣的看法，忽
視了自己的心智受惠於傳統教學的部分：上一代的學生，計算能力比較強。而且身為成人
，他們在日常生活中有許多應用數學的經驗。上一代的成人，本來就較具有深入理解基礎
數學的本錢。
在近年的數學教育潮流中，「計算」之所以一直處於弱勢，是因為這個詞被看成是附屬於
「程序」的一支，因此變成枯燥無味的東西，就像把騎腳踏車的過程支解成一段段的分解
動作，然後要求學生背起來一樣。這種學習，跟騎腳踏車根本是兩碼子事。
但是數學家所理解的計算，遠比程序要多得多，這牽涉到數學在人類史上之所以如此重要
的特殊本質─數學的抽象性、嚴格性與連結性[6]。舉例來說，我們說解題（problem
solving）是這一波數學教育改革的重心。但是解題的重點，並不在於解出一個個的特殊
問題，而是要訓練出解題的能力。這種能力之所以可能，就在於學生能從問題，找出適當
的數學「模型」、變換數學表徵，列出待求解的數學問題，並且能真得解出這個問題，這
所有的過程，都需要抽象性、嚴格性與連結性的訓練。至於解是否恰當；如何估計夠好的
解；常用方法不夠，如何尋求其他非典型的解決方法，則是更困難的課題，更需要學生有
紮實的抽象性、嚴格性與連結性的訓練。
筆者談的並不是什麼高深數學，解題的例子在日常生活中到處都是，想要從國小的數學教
育中得到好處，光是「理解」什麼是四則運算、直式計算、分數、小數、各種量等等是不
夠的。想要讓小學生慢慢體認到數學抽象性、嚴格性與連結性的好處，只有將計算的練習
與應用作為教學核心才有可能辦到。
這是因為國小數學的核心是與日常生活最相關的數與量[7]，而想要建立完全的數字感，
把整數（尤其是大數）、分數、小數看成一個活生生的「世界」，我們需要體認到這些對
象的存在（抽象性）、分際（嚴格性）與關係（連結性）。這個任務只有靠各種計算的練
習與應用，才能慢慢建立。這是因為計算的對象與過程本身是抽象的，所以才能讓數的「
自主性」慢慢浮現。精確的計算本身是嚴格推理的化身，因此我們才能談正確的解，與適
用的估算；而計算也讓我們能連結各類數、連結形的性質與數的性質。
建立各種數的數感是一個漫長的過程，可能要花費數年之久。因此光靠理解概念的意義，
做少量的練習，三天捕魚、五天曬網，是遠遠不敷所需的。換句話說，光靠「理解」就想
要掌握數學的抽象性、嚴格性與連結性，是絕不可能的。
也因此，單把計算視為程序，想要減輕它的份量以換取學生的學習動機，有一種根本的危
險，就是它削足適履到把「足」走路的功能都喪失了。如果真是這樣，數學教學就會變成
沒有數學意義，自我解構了。
理解與計算─雙贏的可能性
在目前的數學教育中，計算是弱勢，但是如上述在國小數學教育裡，計算其實應該扮
演更核心的角色，因此筆者才會呼籲加重計算在國小數學中的份量。假設有人用「在國小
數學教育中，『理解』與『計算』兩者只能選一個，你選那個？」這種兩難的問題，來質
疑筆者，筆者一定選「計算」。因為在小學階段，學語言與學數學一樣，都是實用的考量
多於其他的考量，是要應用到日常生活去的。何況人類對事物的深刻理解，很多都是靠實
踐應用得來的。先掌握計算的能力，絕對還有餘裕回來反省理解的問題[8]。但是強調理
解，怠忽計算，絕對只會產生眼高手低的學生。
但是，這不表示筆者贊同回到所謂傳統教學的型態，光靠背誦死算當然是無法真正學好數
學的。台灣的傳統教學之所以能夠比美國同樣型態的教學要來得成功，可能還是來自我們
的教師、課本，甚至教育文化環境，更加注重解題或學以致用[9]，因此枯燥的計算訓練
容易有用武之地，而美國的學生卻大概是真正的死記。這樣的優點，不該隨著社會的遷變
、教改觀念的改變而消失。注重學生的理解，也許是呼應教師權威的崩解；強調生活的應
用，也許是配合社會經濟狀況的改變，但是要超越孤立或粗淺的理解，超越典型的日常問
題的解題（這是另一種死背），真正達到小學數學的實用目的，計算是一定要回來的。
就像我們強調計算絕不只是程序，理解也不只是知道與認識。在小學數學教育中，真正的
計算與理解兩者應該是合而為一的。就像從小朋友學騎車給我們的啟示一樣，能騎車並不
算真的會騎車。更重要的是後面那個拓展空間、練習各種路況、跌倒爬起來、適應各種變
化的過程。要建立小朋友的數學能力，是一個持續、深入、有挑戰性的過程，而綱要、教
師與教科書的責任，就在提供這樣的一種整體有機的學習過程。
傳統教學是教學光譜一端，建構與九年一貫是另一端，台灣的數學教育還有很大的進步空
間。
1 這好像在講用傳統方式教學的教師或家長。
2 例如傳說中今年的建構國一生。
3 例如到底是乘法計算，還是廣義的所有計算。
4 很不幸的，這部分通常是學校老師的功勞。
5 而這實在是小學數學最重要的部分。
6 筆者並不是說這些抽象性、嚴格性與連結性本身的「美感」，是我們的教學目標。而是
如果要達到數學真正「實用」的目標，這三者都不可或缺。
7 代數還在前置經驗的階段。幾何在小學階段主要是量的性質，因此其嚴格性不表現於推
理，而是推理的化身─計算。
8 許多上一代傳統教學下出來的學生，都是這樣走過來的。
9 也許台灣當時的經濟力不足，反而在這方面扮演了正面的角色。
沒有留言:
張貼留言