環論

今天李白飛講了一些歷史 觀點很清晰 特此為記

1. 我們研究環 會分成 交換環 與 非交換環
   交換環在代數幾何中非常重要
   非交換環也有相當多的例子 如矩陣環  $M_n(K)$, 各種 algebras... 等

   這裡的 algebra 不是課名, 是一種代數結構
   粗淺的說, 一個 algebra 同時是一個 ring 和一個 vector space
   換句話說, 一個 algebra $A$ 就是一個 ring $A$, 配上向量空間的結構 $K \times A \rightarrow A$

   為什麼我們要研究 algebra? 為什麼要這樣定?

2. 在古時候, algebra 不叫 algebra, 稱作 hypercomplex system
   顧名思義, 這種定義是由 complex number 所推廣而來的

   既然都說是古時候了, 那個時代的數學家不相信 "根號-1" 存在
   他們用別的方法來說 $i$ 的意義

   譬如說 Gauss, 他這樣定義 i:

   把 $\mathbb{C}$ 看作 $\mathbb{R}^2 = \{ (x,y): x, y \in \mathbb{R} \}$, 定義:
        加法 $(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)$
        乘法 $(a,b) \times (c,d) = (ac-bd,ad+bc)$

   如此一來, 就可以把 $i$ 看作 (0,1) 這個"向量"
   他的意義就是 "乘上 $i$ " = "逆時針旋轉 90 度"

   換句話說
   他們不接受 $i$ 作為一個負數的開根號來看
   但是他們建立了一個 complex system
   由 $1 = (1,0)$ 和 $i = (0,1)$ 生成, 滿足 $i^2 = -1$
   即
        $\mathbb{C} = \langle 1,i: i^2 = -1 \rangle$

   所以他們不是對 "實數" -1 開根號, 他們認為那是沒有意義的
   他們是對 "向量 -1" 作 "極座標角度減半的操作", 這下就安心了

3. 既然 i 在平面上有旋轉的意義, 那空間上有沒有呢?
   Hamilton 想了很久 在 $\mathbb{R}^3$ 中就是找不到,
   1843年, 他終於在 $\mathbb{R}^4$ 中發現了 quaternion algebra $\mathbb{H}$

        $\mathbb{H} = \langle1,i,j,k: i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = k = -ji \rangle$
   他非常自豪, 吩咐人在自己的墓碑上刻下 quaternion algebra
   因為他認為之後的數學必定會繞著 quaternion algebra 發展
   但是事與願違, 雖然二十世紀初確實有一些書籍在講 H 上面的積分理論
   就像複變函數論那樣, 但是因為那些符號不見得比 $\mathbb{R}^3$ 上既有的內積外積方便
   故不見長.

Remark. 在推廣時:
        $\mathbb{R}$ 推到 $\mathbb{C}$ 時喪失了 次序: $\mathbb{C}$ 上我們沒辦法給一個可以被 preserve 的 order
        $\mathbb{C}$ 推到 $\mathbb{H}$ 時喪失了 交換律
        $\mathbb{H}$ 推到 $\mathbb{O}$ 時喪失了 結合律

   作為研究結構的判準, 我們除了看他交不交換以外
   接下來就是要關心結構會不會有 結合律 (associativity)
   因此我們定義 algebra 要有 乘法結合律
   這樣 algebra 就會是個 ring

4. 在這堂課中 我們研究 associative algebra (或稱 K-algebra)
   (non-associative algebra 也是很重要的 比方說李代數)
   這裡的 associative 指的不是乘法結合律
   而是乘法 $A \times A \rightarrow A$ 和 純量乘法 $K \times A \rightarrow A$ 間的 mixed associativity
   即
        $r(xy) = (rx)y = x(ry)$ 其中 $r \in K; x,y \in A$

   其中一個重要的定理是 Wedderburn 定理
   說明在特定的情況下, K-algebra $A$ 的結構可以描述成 semisimple structure

   $A/W(A) = M_{n_1}(D_1) \oplus ... \oplus M_{n_r}(D_r)$

   其中 $W(A)$ 是 $A$ 的 Wedderburn radical
        $D_i$ 為 divison algebra

   證明的 idea 是因為 $A$ 身為 vector space, 有 dimension 的概念
   因此任意維度嚴格遞增(減) 的 chain of vector spaces

      $V_1 \subset V_2 \subset \cdots$ 最終會停下來, 這個稱 ascending chain condition(ACC)
      $V_1 \supset V_2 \supset \cdots$ 最終會停下來, 這個稱 descending chain condition(DCC)

   Artin 把 DCC 的概念抽離 推廣到 ring 上, 得到 Wedderburn-Artin Theorem
   便能描述 semisimple ring 的結構

   附帶一提, 滿足 ACC 的 ring 稱 Noetherian ring, 以 Emmy Noether 為名.