與王偉強有約 - (4) Lectures on Quantum Groups

    Lectures on Quantum Groups,
    Jens Carsten Janzten

摘要:

這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algE_bra 的 modules

令 g 為 fd complex Lie algebra
   k 為 field of char 0
   q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素

可定 Quantized enveloping algebra U = $U_q(g)$
由 $\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\}$ 生成
並滿足以下條件

(R1) $K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a$
(R2) $K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b$
(R3) $K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b$
(R4) $E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}}$ 其中 $q_a:=q^{(a,a)/2}$

(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0$

(R5) $\sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0$

我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論

與王偉強有約 - (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

5. $sl_2(K)$

這次我們把 $sl_2(K)$ 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0

與王偉強有約 - (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

    Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
    Jens Carsten Janzten


摘要:

這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究"reductive Lie algebra g 的 representations" reduce 成 "研究好的 restricted enveloping algebra-modules". 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:

中國大三生劉路解出邏輯學二十年難題

剛剛聽萬翔講的
打電話跟小胖確認這個是真消息 xD

不過 google 搜 Seetapun conjecture 搜不到定義...
邏輯學家果然很小眾.......

小孟查到的
http://www.math.berkeley.edu/~slaman/papers/cjs.pdf

Conjecture 2.12 (Seetapun and Slaman [1995]).

Any proof that every computable 2-coloring of $[N]^2$ has an infinite
homogeneous $\text{low}_n$ set should lead to a proof that $RCA_0 + RT_2^2$ is
$\Pi_1^1$-conservative over $RCA_0 + I\Sigma_n$

新聞連結:

Galois theory 與 Invariant theory

日前在讀 Reflection groups 的 invariant theory
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group $W\leq GL(V)$ 中包含 -1  iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!

與王偉強有約 - (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level

今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要

    On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
    Oliver Mathieu 

摘要:
    對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
    在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
    在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.

    類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
    在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module $l(-\rho)$ 的 formal
    character 如下

Thm 1
    ch $l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}$

    也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!

    這個結果有很多證明, 如
        Wakimoto 1986 (sl2 case)
        Hayashi 1988 (affine classical)
        顧中民 1989 (in general)
        Feigin & Frenkel 1992 (整理)

    本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!

台大 OpenCourseWare

http://case.ntu.edu.tw/CASTUDIO/

響應 MIT