Projective Functors

這篇簡單介紹 Bernstein and Gelfand 的 paper:

Tensor Products of Finite and Infinite Dimensional Representations of Semisimple Lie Algebras
http://tinyurl.com/68aj3cc




§1

Projective Functor 聽起來很友善
但是不是那麼一回事 哈哈

他的設定是:
$\mathfrak{g}$       := complex semisimple Lie algebra (或 over field of char 0)
$U(\mathfrak{g})$    := universal enveloping algebra
$\mathcal{M}$       := Mod $U(\mathfrak{g})$

$F_L$     := functor on $\mathcal{M}$ by $m \mapsto m\otimes L$
           其中 L 是個特定的 finite dimensional module

Functor F 稱作 Projective functor 即

        F 是 $F_L$ 的 direct summand

§2

但這是什麼意思? functor 的 direct summand?
就要考慮

$\mathcal{M}_{Zf}$     := Z-finite $U(\mathfrak{g})$-mod. 形成的 full subcategory of $\mathcal{M}$

我們可以定一個 category C 使
$\text{ob} C$ = morphisms of functors on $\mathcal{M}_{Zf}$
$\text{Mor} C$ = natural transformations of functors on $\mathcal{M}_{Zf}$

才可以討論 direct sum of functors.

§3

為什麼要叫這個為 projective functor 呢?
理由是 projective functor takes projective modules to projective modules.
不要和 projective module P 對應的 exact functor $\text{Hom}(P,-)$ & $\text{Hom}(-,P)$ 搞混了

§4

也因此, 之前我們研究的 translation functor 可以寫成

        $\text{Pr}(\chi_1)\circ F_L \circ Pr(\chi_2)$
        其中 $\text{Pr}(\chi)$ 為 projection on subcategories wrt  $\chi$
        所以 translation functor 也是個 projective functor


§5

這篇 reference 中, 目的是將 indecomposable projective fucntors 分類
而且可以將它 indexed by 觀察 $M(\lambda)$ 被送到哪個 $P(\mu)$ 去

最後便可以研究 Harish-Chandra modules 的分類.
也可以證明 Pricipal series modules 和 Verma modules in $\mathcal{O}$ 的關聯