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Chp 10 Projective Modules
簡介 projective functor 的概念如下:
簡單的講就是要通透 tensoring with f.d. modules over $\mathbb{C}$
(以下以 $\otimes$ 表示 tensoring over $\mathbb{C}$)
1.
我們看 $\mathcal{M}$ := Mod U(g), 可以定一個 functor
$F_L : \mathcal{M} \to \mathcal{M}$ by $M$ $\mapsto$ $L\otimes M$
其中 F 是 projective functor if F is a direct summand of $F_L$
2.
這裡我們要注意, 什麼是 direct sum of functors?
在一般的 category 裡面我們有 (direct) sum 的定義,
因此我們可以看一個 category with objects = functors
morphisms = natural transformations
便可以講 direct sum of functors
3.
In particular, 我們在 Category O 中,
可以藉由觀察 F 把 $\mathcal{M}(\chi):= \{ M : \langle \text{ker}\chi\rangle M = 0 \}$ 中的
Verma module $M(\lambda)$ 打到哪個 projective cover $P(\mu )$ 來決定
也因此, 雖然在 Bernstein & Gelfand 的 paper 中, 花了一番功夫證明
projective functor 在比較 general 的情況,
也就是 full subcategory $\mathcal{M}_{\text{zf}}$ = finitely generated Z-finite U(g)-modules 中,
任何 proj. functor 都可以拆成 direct sum of indecomposable proj. functors
但是我們可以藉由上面的觀察, 直接論述 Category O 中,
任何 proj. functor 都可以拆成 direct sum of indecomposable proj. functors
4.
因此我們可以試圖證明 classification theorem for indecomp. proj. functors
分成以下步驟:
(a) 證明 given dominant weight \lambda
和 proj. $\chi$-functors F, G ( restriction of proj. functor on $\mathcal{M}(\chi)$ )
有:
$\text{Hom}(F,G) = \text{Hom}_O (F M(\lambda), G M(\lambda))$
也就是 natural transformation of funtors
和 homomorphism between some proj. modules 是"一樣"的
也因此
decomposition of functors
和
decomposition of modules 一一對應
(b) 證明 given proj. functor F,
$F^\infty(\chi)$ := restriction of F on $\mathcal{M}^\infty(\chi)$
$F(\chi)$ := restriction of F on $\mathcal{M}(\chi)$
其中 $\mathcal{M}^\infty(\chi) = \{M : \langle\text{ker}\chi\rangle^n M = 0\text{ for some } n \gg 0 \}$
則
(1) $F^\infty(\chi)$ 由 $F(\chi)$ 唯一決定
(2) $f:F(\chi)\to G(\chi)$ extends to $f:F^\infty(\chi)\to G^\infty(\chi)$
並 preserves isomorphism & isempotency
(c) 令 $\Xi$:= $\{ (\lambda,\mu ) \in H^* \times H^* : \text{ compatible } \}$
$\Xi_0$ := the orbit under group action
$W\times\Xi\to\Xi$ by sending
$(w , (\lambda,\mu ))$ to $(w\cdot\lambda,w\cdot\mu )$
Given orbit $\xi\in\Xi_0$,
$(\lambda,\mu ) \in \xi$ 稱 proper pair if
(1) $\lambda$ is dominant
(2) $\mu$ is minimal in $W_\lambda\cdot\mu$
其中 $W_\lambda$ 是 $\lambda$ 的 dot action stabilizer
則我們有以下 bijection
$\Xi_0$ <-> {indecomp. proj. functors}
$\xi$ $F\xi$
滿足若 $\xi$ 有 proper pair $(\lambda,\mu )$
則 $F\xi : M(\lambda) \mapsto P(\mu )$
5. sketch proof of (a)
一般來說, $\text{Hom}(F,G) \to \text{Hom}_O(FM(\lambda), GM(\lambda))$ 是個 injection
證明是真的把 natural map 寫出來,
用 Duflo 定理 ( $\text{Ann} M(\lambda) = \langle\ker\chi\rangle$ )
便能證得 1-1
要證 isomorphism, 便要證
$\text{dim~ Hom}(F,G) \geq \text{dim~Hom}_O(FM(\lambda), GM(\lambda))$
拆成最小單位, 令 $F= F_V, G= F_L$
LHS 可以用 Kostant 定理算得是 $\dim (V^*\otimes L)_0$
RHS 直接算出 Verma modules 出現在 $V*\otimes L$ tenors $M(\lambda)$ 的重數 $\leq \dim (V^*\otimes L)_0$
6. sketch proof of (b)
考慮 2-sided ideal $J:= \langle\ker \chi\rangle$ in U(g)
那 $H^n := \text{Hom}(F^n(\chi), G^n(\chi))$ 可以用 被幾次 J 殺掉來 induce J-adic topology
直接計算 $H^\infty$ is complete in the J-adic topology
換一種想法, 因為 $\mathcal{M}^n(\chi)$ 元素中可視為 n 次 extensions of elements in $\mathcal{M}(\chi)$
所以 $F^n(\chi)$ 可由 $F(\chi)$ induce
也因此 $F^\infty (\chi)$ 可由 completeness 保證
7. sketch proof of (c)
由 (a), (b) 可保證 indecomposability
再由以下 criterion 得證:
Lemma Given $\lambda$:dominant, TFAE:
1. 存在 f.d. L 使得 $P(\mu )$ 是 $M(\lambda)\otimes L$ 的 direct summand
2. 存在 f.d. L 使得 $\text{dim ~Hom}_O (M(\lambda)\otimes L, L(\mu )) \neq 0$
3. $(\lambda,\mu )$ is proper
8.
以上 classification theorem 有個 corollary:
由之前 translation functors 的 propositions,
得知 wall-crossing functor 把 $M(w_\lambda\cdot\lambda)$ 打到 $P(w_\lambda s\cdot\lambda)$
因為 $(w_\lambda\cdot\lambda, w_\lambda s\cdot\lambda)$ is proper in its orbit
因此 wall-crossing functor 確實 independent of $\mu$
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