Direct sum 病

這是我剛剛覺得自己有的盲點
作代數結構的解構時
很喜歡把東西寫成 direct sum
總覺得 ⊕ 一打出來 自己就好像都懂了

但是唸李代數的時候要很小心
因為你要完完全全搞清楚這是 direct sum of what

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譬如說, complex semisimple Lie algebra L
有 decomposition $L = \mathfrak{h} \oplus (\bigoplus g_\alpha)$
這是 decomposition of vector spaces,
不是 decomposition of Lie subalgebras/ideals
  所以這裡的 directness 其實沒那麼了不起, (只有普通了不起)

所以雖然有些人會寫 ⊕
但是還是有些老師 就只寫 L = $\mathfrak{h} + \sum g_\alpha$
只要心理知道每個子結構是什麼就好

像這裡 $\mathfrak{h}$ 就是貨真價實的 subalgebra
$g_\alpha$ 作用會亂跑

換言之 我們可以將 L 視為 $\mathfrak{h}$-module under adjoint action
這樣他就真的是 direct sum of $\mathfrak{h}$-modules 了 (哈哈)
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上面的例子其實也還好
接下來我們會遇到 Lie modules in the category O
由定義, 我們知道 M in O 都是 weight modules
也就是 M =  $\bigoplus_{\lambda\in\mathfrak{h}^*}M_\lambda$
雖然我們這邊又寫了 ⊕
但是我們心理知道這也只是 direct sum of vector spaces

心中的 image 平常不會紊亂
碰到計算 Ext, 也就是要細看 exact sequence 的時候才會有疑慮

譬如說我們希望 Ext(M(λ),M) = 0
其中 M 是 wt = μ 的 highest weight module, μ 不大於 λ

給定 exact seq
$0\rightarrow M \stackrel{f}{\rightarrow} E \stackrel{g}{\rightarrow} M(\lambda) \rightarrow 0$
我們知道的是 M 是 E 的 submodule
                      M(λ) 同構於 E/M

要證 E = M(λ)⊕M (就真的是 direct sum of modules 了)
也就是 M(λ) 要同構於 E 中的一個與 f(M) 交集為空 module N 且 N + f(M) = E

那我們就是要把 M(λ) 中的 maximal vector v+ 拉回 E 看 preimage 中某 x
證明 x 也是 E 中 maximal vector
否則有
$\begin{array}{ccc}E & \rightarrow & M(\lambda) = E/M \\x & \mapsto &v^+ \\e_\alpha\cdot x & \mapsto & 0\end{array}$
=> $e_\alpha\cdot x$ in M     
=> μ > λ, 矛盾

這樣 $U(\mathfrak{g})x$ 就是我們要找的 N, 令其自然的 map 為

$\begin{array}{cccc}T:&M(\lambda)&\rightarrow&N\\&v^+& \mapsto&x\end{array}$
滿足 g。T = id
雖然套用引理可知因此 0→M→E→M(λ)→0 splits
但是我還是想知道 sets of weights 到底發生了什麼事

我心中畫出了兩座山, 以 μ 和 λ 為山峰
表 E 中的 sets of weights

    λ          所以我憑這個圖知道 E 身為哪些 vector spaces 的 direct sum
    /\   μ     但是對於 direct sum of modules 一無所知
   /  \  /\     如果沒有上面的論證 只看這張圖
  /    \/  \    會天真的把 quotient identify with submodule
 /     /\   \   這是李代數表現論一定要弄懂的部分
/     /  \   \

另一方面 圖像化也有其好處
要求 μ 不大於 λ 就是要避免掉

   μ
   /\
λ/  \          這種狀況
 /\   \
/  \   \

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最後要看到 direct sum of category 了
一開始唸的時候我真的搞不清楚
反正覺得 category O 可以拆成 direct sum 很好

就很開心的接受了 $\mathcal{O} = \bigoplus \mathcal{O}_\chi, \chi$ 為 central character
完全沒有細想過這是什麼 direct sum
真的是總覺得 ⊕ 一打出來 自己就好像都懂了

慎之