Hom, Ext, Duality Functor in the Category O

Chapter 3: Category O: Methods
http://tinyurl.com/28dlyft
Hom and Ext
Duality in O

目前也只有完成前兩節
因為我之前對於 homological algebra 沒有那麼熟練
所以花了許多功夫在建立對 Ext functor 的了解

再來的 restricted dual functor 也是很新的概念
一般 homological algebra 書中的 dual functor
都是 vector space 的 dual functor
老老實實的 不會給你出什麼亂子

但是這邊我們要看 dual Lie module 的 dual functor
還因為傳統的 dual module 範疇太大不好處理
所以我們要引入一個 transpose antiautomorphism 來產生 restricted dual module

所以這本質上是個紮紮實實的李代數問題
雖然我現在處理的是 abelian category 中的 exact functor
我們幾乎很少用到同調代數中 dual functor 的性質
翻同調代數的書也不太有用
因為我們就是要證明
哪些 Category O 中的 modules A,B 不存在 notrivial extension

也就是要證明
任給 exact seq 0→B→E→A→0, 都會 splits
但幾乎都是用李代數的方法來證明 E = A⊕B

不過這樣也好
把 Humphreys 省略很多的證明老老實實的寫下來
我覺得我和 highest weight module 更熟了 xD