草包族數學

1. 費曼在一場演說中提到了「草包族科學」這個名詞如下:

大戰期間在南太平洋有一些土人，看到飛機降落在地面，卸下來一包包的好東西，其中一
些是送給他們的。往後他們仍然希望能發生同樣的事，於是他們在同樣的地點鋪飛機跑
道，兩旁還點上了火，蓋了間小茅屋，派人坐在那裏，頭上綁了兩塊木頭（假裝是耳機）
、插了根竹子（假裝是天線），以為這就等於控制塔裡的領航員了 ——然後他們等待、
等待飛機降落。他們被稱為草包族，他們每件事都做對了、一切都十分神似，看來跟戰時
沒什麼兩樣；但這行不通：飛機始終沒有降落下來。

=============================================================================

2. 現在有一些人，他們覺得自己需要學習「嚴謹證明」，於是嘗試模仿課本的定理，把
一切的東西用英文寫下來，他們寫下來的「證明」是:

 Let ～～～～～～～～～～～～
 Define ～～～～～～～～～～～～～～～
 Suppose ～～～～～～～～～～～～～～
 Assume ～～～～～～～～～～～～～～～～
 So ～～～～～～～～～～～～～～～～～
 Thus, ～～～～～～～～～～～～～～～～～
 It's trivial ～～～～～～～～～～
 It's easy ～～～～～～～～～～
 It's obvious ～～～～～～～～～～～～～～～
 It's straightforward ～～～～～～～～～～

其中的 ～～～～～～～～～～～～～ 都是式子，

但是他們忽略了數學的本質，以為只要用英文寫下來，什麼事情都會對。

=============================================================================

3. 今天實分析習題課，助教說有 2/3 的人某一題寫了完全一樣的解答，但是很可怕的是
，那 2/3 人版本的解答完全是胡說八道，自己做出額外的假設，套用一個大定理的名堂
，但是套用了以後的階段結論根本是錯的，並且離要證明的結論還差很遠。

   助教在台上詢問那 2/3 的人，問他們這個階段結論是為什麼會對? 但是沒有一個人回
答，實在是很可怕。

   這代表，台灣最好的數學研究所，有約 2/3 的碩一對於必修課的作業，題目連看都沒
看的就抄下去了，而且還渾然不知道自己在寫什麼東西。

Parallel Transport

※ 引述《Tass (為文載道尊於勢)》之銘言：
: http://torus.math.uiuc.edu/jms/java/dragsphere/
: 自己拉一拉就懂了!

其實我自己的困擾是
他的引理很威
花了一番功夫證完以後
卻發現要拿著這把牛刀來殺小雞

或著看著小雞
想說找個小木槌敲暈他就好
找啊找的
發現自己還是要回頭來拿牛刀殺小雞....

譬如說我看那
「 給定 S 上一點 p 和 Tp(S) 上初始向量場 v，
   唯一存在 parallel 向量場 w 使得 w(0) = p 且 w'(0) = v 」

我用他來作
「 給定 S 上一點 p 和 Tp(S) 上初始向量場 v
   唯一存在測地線 γ 通過 p 且以 v 的方向走出去 」


可是在接下來的定義 parallel transport 時
其實就是說

「 指定一條路徑 C ，我就可以把初始切向量 w0 以"平行"的方式搬著走 」

但是這裡的平行定成 協變導數 Dw/dt 恆等於 0
讓我就在想像很久

「 向量場 w 只在路徑 C 之切面方向有變化的話就可以是 parallel transport 」

這樣好像很多個
但是卻忘記剛剛自己才用 ODE 解唯一存在定理證明了這東西唯一存在....

(偽)計程作業

題目敘述:

    在 BBS 上，有些人有些話想要說但是又不想要讓太多人知道，便會把自己的
心情文用特殊的方式表示，譬如說使用新注音的輸入方式鍵入英打，便會得出一串
看似無意義的英數符號，閱讀者必須看著那些符號一一藉由新注音輸入，便可以得
到不選字的原文，可以藉此大致猜出原意。

    因為由不選字的原文判斷文章原意太困難了，本題目只需要把不選字的文章打
印出來即可。


輸入檔說明：

    輸入文章為一個 char 陣列，至多十行，每行至多有 72 個字元。

輸出檔說明：

    請輸出翻譯過後的不選字文章，你可以依你的喜好選擇用字。

範例輸入：

1.
========================================================================
ji32k7wu0 s875k4u;4283y4go6d042k72j/3
========================================================================

2.
========================================================================
dk
dk dk
dk dk dk
rup4g4rup4g4rup4g4rup4g4
========================================================================

範例輸出:

1.
========================================================================
我的天哪這樣打字誰看得懂
========================================================================

2.(a)
========================================================================
科
科科
科科科
近視近視近視近視
========================================================================

2.(b)
========================================================================
科
科科
科科科
近世進士盡是近視
========================================================================

第二次作業:

    因應 BBS 使用者水平日漸低落，你必須對此程式改進以判斷解決下列狀況:

1. 使用者不輸入代表平聲的 ' ' 就直接打下一個字          (40%)

2. 使用者打了不成字的注音符號，你必須判斷這是:          (60%)
   a) 注音文 – 輸出對應注音
   b) 打錯字 – 照樣輸出原 char 陣列供使用者自行判斷

[Bonus]

3. 新酷音輸入法是個和微軟新注音功能相仿的 open source 軟體
   網站在 http://chewing.csie.net/

   請參考之，並把程式輸出的文字改為新酷音的初始選字。   (50%)

讀幾何，只會感到惶恐

唸了很多東西以後
還是覺得我什麼都不會
只會循著前人的提示
對一個我不知道是什麼的東西微分
然後目睹奇蹟發生
瞧，做出來了



高斯當年作出了威力強大的第二基本式之後
解幾何問題如拿著機關槍掃射小學生
但是他仍在寫給朋友的信中表示遺憾
因為他覺得雖然他作出了那些問題
但是他不知道那到底有什麼幾何意義

Apocalyptic, Stentorian, Siren

Apocalyptic (a) 啟示的 預示災禍的
Siren       (n) 唱歌引誘水手的女妖
Stentorian  (a) 聲音宏亮的

這三個字可以勉強串在一起 xD


Apocalyptic 可以拆成 apo "from" + Calypso
即是 Calypso 所說的話，字面上便可得知是預示災禍的意思

Calypso 何許人也?
讀過奧德賽或看過神鬼奇航三便會有印象
就是女巫(海神女妖)。

以下引用網址敘述 Calypso 的一些故事

http://tw.myblog.yahoo.com/sorcerer-julian/article?mid=1292&prev=1299&next=1283

神鬼奇航3中所謂的海神女妖，就是希臘神話中的Calypso。很多人都誤以為她是傳說中的
Siren。由於她們都曾在奧德修斯(Odysseus)自特洛伊戰爭的回程中出現，所以很容易被
搞混。我在這裡略為說明一下。

Siren是河神艾克羅斯(Achelous)和謬斯女神 (Muse) 的女兒，住在Sirenum scopuli，常
用美妙的歌聲誘惑水手發狂，讓船觸礁。當奧德修斯的船來到Sirenum scopuli的時候，
他早已經知道Sirens (事實上，Siren不只一位) 的傳說。但由於好奇心的驅使，他非常
想聽Sirens的歌聲，於是他下令水手們在耳中灌入蜂蠟，並將他綁在桅杆上。當歌聲響起
時，奧德修斯發狂大吼，但水手們卻聽不到。就這樣，安全地度過了Sirens的危機。

(圖)Sirens以歌聲誘惑水手們

行經翠納西亞島(Thrinacia)時，奧德修斯的船被逆風困住，船員們因為飢餓難耐，殺了
島上獻給太陽神的聖牛來吃。消息傳到天庭，雷神宙斯 (Zeus)大怒，用閃電將船擊沉，
所有船員罹難，只有奧德修斯因為出外求援，未食聖牛而大難不死。奧德修斯在海上漂流
，潮水將他沖到岸邊，遇上了 Calyspo。

(圖)Calypso愛上了奧德修斯，將他軟禁在島上七年

Calypso是泰坦神亞特拉斯(Titan- Atlas)的女兒，住在奧巨吉亞島(Ogygia)上。當她看
到奧德修斯時便愛上了他，對他提出永生不死的條件，換取他的愛。奧德修斯因為惦記著
家鄉的妻子潘妮洛普(Penelope)，所以沒有答應。Calypso便將他囚禁於島上，長達七年
之久。這七年當中，奧德修斯晚上成為Calypso的情人，白天則坐在海邊思念家鄉。終於
這件事被智慧與正義的女神雅典娜(Athena)發現，到宙斯那裡告了一狀。宙斯便派遣信使
賀米斯(Hermes)到島上來，命令她釋放奧德修斯。Calypso心不甘情不願地答應了，卻只
給了他一艘小船，一點點糧食、水和葡萄酒，讓他繼續回家的旅程。

==============

這跟 Stentorian 有什麼關係呢?
Stentor 是特洛伊戰爭時希臘方的傳令兵，
之前我找了老半天，都找不到關於他的詳細一點的事蹟。

資料顯示 Stentor 這人聲音宏亮，跟50個人的聲音一樣大(哇)
但是在一次"大叫比賽"中，輸給了神仙賀米斯(Hermes)，之後不久就死了。

...........................................
所以才說"勉強" 可以串起來

--


        數學家是把咖啡加工成定理的機器
                                        也是把定理加工成夢想的機器



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※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc)
◆ From: 140.112.33.216
→ sunnycutie:我怎麼記第三個單字的咧 老方一講完我就在旁邊寫泡泡 推 10/23 10:09
→ sunnycutie:然後我就都沒有忘記過這個單字了XD                  推 10/23 10:10
→ gogogolo:真的是長知識                                        推 10/23 10:16
→ jaguarxj:Sirenum Scopuli是拉丁文，翻成英文就是the "scopuli"  推 10/23 15:56
→ jaguarxj:of Siren，不過我查不太大Scopuli的確切意思@@；另外， 推 10/23 15:57
→ jaguarxj:維基說Stentor是被愛瑪士(XD)震聾而死的               推 10/23 15:57
→ jaguarxj:查到了，更正，Sirenum Scopuli就是the rocks of Siren 推 10/23 20:11

wag

(n) 搖擺、小丑


    wag 一開始作"搖擺"解釋，是從斯堪地那維亞影響的古英文 wagian 而來。

    wag 後來作"person fond of making jokes"即小丑來解釋，是在 1553年，由
waghalter "gallows bird" 的縮寫而來。

    我剛開始看看, gallows bird? 應該是一種鳥吧?不料一查字典，gallows 是指
絞首台，gallows bird 則是"要受絞刑的犯人"，戲稱 gallows bird 應該是想說他
插翅也難飛之類的。

    字源查出來說是，wag"搖擺" + halter"絞刑" 幽默地(??)套用到了調皮的小孩
身上，以 waghalter 代表愛說笑的人 (可能是有個調皮的小孩假裝自己被吊死，旁
人哈哈大笑之類的。)

coy

coy

(a) 害羞的,靦腆的;忸怩作態的


例句:

Saying coy makes me coy.

講"口以嗎"讓我覺得很害羞。

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╭═──═───══╮╭═──═╯    ． . ‧           ╰══─═──╮
║細雪紛然，悄落無聲├╯    .  .                    .                 ╰═╮╭
│衣阡陌田野以素衣裳║˙ .‧     .‥    ．            ．殘雪濁淖，不復瑩潔╰╯
│我心啊！請白潔勝雪║  ．   ,       ˙   ‧.     ． .  曾經底光華已為陳蹟
║請無垢無瑕        │                                  然我心啊，如磐石無轉
╰═══──═──═╯╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴仍燁然如昔    ψTass

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→ crazykid:.....                                               推 10/20 21:37
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→ rowan12724:..........                                        推 10/20 21:55
→ asdic0702:XDDD                                               推 10/20 22:42
→ gogogolo:這個真的太好笑了XD                                  推 10/20 23:59
→ shingifred:.......too coy                                    推 10/21 00:24
→ coldestegg:............XD                                    推 10/21 00:28
→ vickie21321:XDDD                                             推 10/21 00:39
※ vickie21321:轉錄至看板 littlesecret                             10/21 00:39
→ giawgwan:這就是台語的"古意"啊!                               推 10/21 00:45
→ slpgbebo:有智障到...                                         推 10/22 00:38

Very 系列

說到 very 我們常常使用的都是非常來非常去的
偶爾有一些 this is the "very" xxxx 代表 精準 的意思

GRE中常出現字根是 very 作 "true" 解釋的單字

VERACIOUS
    (a) 誠實的 真實的 說真話的 準確的
    來自 [拉] verax (屬格 veracis) "truthful" ← verus "true"

VERIFY
    (v) 查證 證實 檢驗
    也是 [拉] verus "true" + "to make"

VERDICT
    (n) 裁決 判決 定論
    是從 [法] verdict 來的
    不過拆出來仍是 [拉] verus "true" + dicere "to say"

VERISIMILAR
    (a) 好像很有道理的
    [拉] verus "true" + similis "like"

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這篇文章好像很有道理
就可以說 this post is verisimilar!

venal 與 venial

VENAL (a) 唯利是圖的 貪贓枉法的

VENIAL (a) 錯誤輕微的 可以原諒的

這兩個看起來好像喔 要怎樣區分呢?

例句:

A venal person is venial as long as there's an 'i' inside.

一個貪贓枉法的人，只要心中有愛，總是可以被原諒的 (誤)

stymie (v) 阻礙

在1834年首度提出
用來表示打高爾夫球時"別人的高爾夫球已經擋在洞裡"的狀態
(...............................)

在1902年之後廣泛的使用之作為"阻礙"的意思

shiftless (a) 無用的

例句:

    一個沒有 shift 鍵的鍵盤是沒有用的。
    A keyboard without shift is shiftless.

Re開頭 斥責系列

REBUKE
    to criticize sharply

REPREHEND
    to voice disapproval of

REPRIMAND
    ro reprehend sharply from a position of authority

REPROACH
    to express disappointment in a person for conduct that
is blameworthy or in need of amendment.

REPROBATE
    to condemn strongly as unworthy, unacceptable or evil

REPROVE
    to scold or correct gently or with kindly intent


溫柔 ←───────────────────────────────→兇

     reprove         reprehend          rebuke            reprobate
                     reprimand          reproach

大概是這樣?

restive

restive (a)
1. 倔強的;不聽話的;(馬)不肯向前走的
2. 喧鬧的;焦躁的

這個字恰恰跟我們望文生義的 rest 意思相反
怎麼回事呢?

原來是現代英文的 rest 有兩個 rest
一個是從古英文 restan "to rest" 變來的, 便是我們最常用的 rest

另一個 rest 是從法文 restyffle "not moving forward (horse)"來的
便是 restive 的 rest

sabotage (v)

sabotage
(v) 搞破壞

這個字的起源很好笑....

字源學上的考證
是由法文的sabot "走路很大聲" 而來
其中sabot在一開始的意思是 "木鞋" 後來轉換成 " 舊鞋"
可能是以為走路很大聲就會把事情搞砸吧

另外有一種未經佐證的說法是
罷工的工人會把舊鞋子(sabot)丟進政府機構以示抗議....

也有一種意思上的分歧是 "to play a piece of music badly"

自相矛盾 - ravel

ravel
vt.
   1. 解開;弄清
   2. 使錯綜複雜
vi.
   1. (線等)鬆開
   2. 纏結
n.
   1. 糾結;混亂

沒搞錯吧? ravel同時把弄清情況又把它弄複雜?
沒錯! ravel 和 unravel 既是同義字又是反義字!
因為他的字源 [荷] ravelen 既是 "to tangle" 又是 "unweave"
所以要怪就要怪荷蘭人(咦)

可以這麼想:
"as threads become unwoven, they get tangled."
"當你把編織好的線拆開以後 他們又會糾結在一起了"

--

                   「我們愛星星至深無懼於黑暗。」

     "We have loved the stars too fondly to be fearful of the night."


--
※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc)
◆ From: 61.228.79.242
→ turboho:簡直就是空集合跟宇集合，又open又closed               推 10/05 21:00

掛羊頭賣狗肉

pantechnicon (n)

1.【英】傢俱倉庫
2.【英】傢俱搬運車


這個字是希臘文
代表"pertaining to all the arts or crafts"

可直接由拆字得知
pan- 代表 "all"
technicon 由 希臘文的 tekhnikos 而來
代表 "of art, of craft"



1830年有家手工藝品以此為名
開在倫敦的 Motcomb Street
後來那家店倒了
但是沿用名稱改成家具批發店
便沿襲至今

有時候會把 pantechnicon van(貨車) 簡稱 pantechnicon
因此產生了本單字的第二種意思

十三號星期五恐懼症

Paraskevidekatriaphobia

(n) 十三號星期五恐懼症




---
http://www.medterms.com/script/main/art.asp?articlekey=21976

Definition of Paraskevidekatriaphobia

Paraskevidekatriaphobia: Fear of Friday the 13th.

The word "paraskevidekatriaphobia" was devised by Dr. Donald Dossey who told
his patients that "when you learn to pronounce it, you're cured!

Dim. of a ring

is a ringlet.


這是 etymonline.com 對於 dimminutive的縮寫舉例

不過我看到dim. of ring 的時候笑翻了 xD

單字問題一覽

1. chiaroscuro  (n) 明暗畫法
   chiaro + oscuro 是義大利文的 明+暗  [Favonia]

2. Epithet (n) 描述性的稱號
   到底是哪一部份?
   如 Visara the dreadful 的紅色部份就是 epithet
   Q: 那前面的主體有特殊的字嗎?

3. deadpan (a) 面無表情的
   因為pan 有個俚俗的意思是臉
   所以deadpan也差不多就是就是屎臉
   然後我有個同學叫做bigpan 科科

4. cursory  (a) 匆忙的;粗略的
   和滑鼠游標的 cursor是同一字源
   源自拉丁文 cursor, 意思是 "runner," 動詞 currere "run".

5. cupidity (n) 貪心 貪財
   和邱比特的Cupid 同一字源 為
       cupiditas, 代表"passionate desire",
       cupidus, 代表 "eager, passionate"
       cupere, 代表 "to desire".
   但是名詞 cupido 轉化成邱比特. 英文仍保持原義.

6. declaim (v) 雄辯 慷慨陳詞 朗讀
   de- 強調性字首 + clamare "shout"

7. attrition 有兩個意思
    (1) 損耗;磨損
    (2) (神學)不徹底的懺悔
   字源來自拉丁文動詞 attritionem 磨耗.
   神學上的這個解釋來自 Scholastic theology (約 1374),
   "sorrow for sin merely out of fear of punishment," a minor irritation,
    and thus less than contrition."

8. adage, apothegm, aphorism 都有 格言 的意思
   程度上的差別是:
   adage: 古時留下來的俗諺 但比較平庸 多是一個人觀察日常生活得出來的
     如 "do unto others as you wish them to do unto you"

   aphorism: 比較新鮮 特性是簡潔 跳tone 打破陳見
     如 "A mask is prepared to face anything."
        "Some marriages give bachelors a master's degree."
        "No matter how long you teach a fool, he still knows everything."

   apophthegm: 比較像是考慮時事所下的評論 比較沒有爆點
     如 "Necessity is the mother of invention."
        "Power tends to corrupt and absolute power corrupts absolutely"

9. abjure v.s. adjure
   abjure: 1430, 中世紀法文 abjurer,
                     拉丁文 abjurare "deny on oath"
   ab- "away" + jurare "to swear"

   adjure: 1382, 拉丁文 adjurare "confirm by oath"
   ad- "to" + jurare "swear"

10 callous v.s callus 雖然唸起來都一樣...
   callous:
       1578, 拉丁文 callosus "thick-skinned",
             拉丁文 callum "hard skin"
   callus: 1563, 拉丁文變體  callum "hard skin"

11 cantankerous (a) 脾氣壞的 愛爭吵的
   源於 1772, 英國 Wiltshire, 是中世紀英文 contakour 即"troublemaker" 的變體
   源字 1330, 英式法文的 contec "discord,"
              古法語的 contechier,
   = con-"with" + teche(atachier "hold fast")

12 consternation (a) 驚慌失措
   1611,   法文 consternation,
         拉丁文 consternationem (主格是 consternatio),
                consternare "overcome, confuse, dismay,"
   = com- 強調性字首 + sternare "throw down."

13 conundrum (n) 難題(解答通常帶有雙關) 機智問答
  字源起源不可考!
  例:
  問 「為什麼你們都叫他胖子? 他很瘦啊」
  答 「因為他愛講雙關 哈哈」

奇怪主義區
===================================================================
1. altruism     利他主義 (車馬輕裘與朋友共 敝之無憾?)


奇怪稱號區
===================================================================
1. connoisseur  鑑賞家 行家
2. coquette     風騷的女人 賣弄風情的女子       (puma?)
3. curmudgeon   脾氣壞的老人                    (Mr. Pi?)
4. dandy        花花公子

藝文專區
===================================================================
anthology       詩集 文選
doggereal       打油詩

burlesque       諷刺劇 滑稽劇
cameo           串場的重要角色
denoument       戲劇、小說的結局 這哪國文字啊 發音好奇怪

caricature      諷刺畫
chiaroscuro     明暗畫法

punch line      笑點!!!!!!!!!!

醫藥專區
===================================================================
其實我都不懂這些字要怎麼拆 或是從哪個字變出來的

1. analgesic    止痛劑
   anodyne      止痛藥

2. anesthetic   麻醉劑

3. amnesia      記憶喪失

4. anemic       貧血的

5. septic       敗血症的

6. apothecary   藥劑師

7. claustrophobia 幽閉恐懼症

見山

愈來愈體悟到一個東西要會很多層面了
當初修課的東西現在看起來淺的不得了
一件(線代的)事情至少要會:

1. 定義與實例
2. 具體操作
3. 幾何觀點
4. 直觀概念

很多東西都突然覺得很深刻:

========================================================================
例一: column rank 與 row rank 相等
========================================================================
1.
我們知道:
c-rk(A) 定義為 「矩陣A中某一組maximal線性獨立column vectors的個數」
r-rk(A) 定義為 「矩陣A中某一組maximal線性獨立row vectors的個數」

2.
這兩個東西看起來好像會一樣 但是我們沒有辦法直接說明
常見的作法是把矩陣A換成 row-echelon form
這樣對於左上角的 rk*rk 子矩陣分別從行/列的方向去數pivots會一樣
可以告訴我們c-rk(A) = r-rk(A)

可是在這個層級裡面我們只看得見「矩陣裡面的數字」
「矩陣裡面的數字」對我們來說是沒有意義的!
我們也不知道行列操作的本質是什麼
我們只是呆呆的把一些數字經由小學算術換成另外一些數字

3.
讓我們回到源頭，
矩陣是個把「有限維」向量空間實體化的東西

＊來看一個特例:
我們可以想像在R^n上有一個n維向量 v (此時的基底是e1,...,en)
一個Linear map可以把 v 變成另外一個向量 T(v) 同樣落在 R^n上
分開看每一個基底 ej
經過T變換之後變成的 T(ej) 我們一樣可以用e1~en來表示
寫作 T(ej) = Σek*akj 把係數寫下來 就是矩陣!

                    T
 向量空間V          →        向量空間V
     e1   ┌ a11 a12 … a1n ┐    e1
     e2   │ a21 a22    a2n │    e2
      :   │  :          :  │     :
      :   │  :          :  │     :
     en   └ an1 an2 … ann ┘    en

＊ 一般來說 T:V → W 可以把 向量空間V上的一個向量v
   變成 向量空間W上的一個向量 T(v)

對於這個T，我們可以「任取」V的基底 e1~en 和W的基底f1~fm
可以找到唯一的表示 T(ej) = Σfk*akj 這些係數寫下來就是矩陣

所以一個矩陣就是:
  「對於選定的T:V→W 採用基底e1~en和f1~fm對應的係數變化」
  描述的是
  「一個向量v在e1~en的方向以什麼倍數(就是矩陣係數)的變成T(v)」


                    T
 向量空間V          →        向量空間W
     e1   ┌ a11 a12 … a1m ┐    f1
     e2   │ a21 a22    a2m │    f2
      :   │  :          :  │     :
     en   │  :          :  │     :
          └ an1 an2 … anm ┘    fm

這樣看起來矩陣是個極度不精確(或你可以說可塑性大)的東西
我們只看的到係數的變化卻看不見它的「向量改變」本質

＊
我們實際上對A來做行列的操作，就是左右分別乘上基本矩陣 Q和P
使QAP變成我們想要的樣子
(也就是前rk*rk的子矩陣是I_rk 其他都是0)

＊而基本矩陣的本質是「變換基底以描述同個向量」 所以我們可以寫成:

      id       T        id
V    →   V   →   W   →  W
e'1       e1       f1      f'1
 :   [P]   :  [A]   :  [Q]  :
e'n       en       fm      f'm


QAP要是我們要的樣子，就是
「將v以e'1~e'n描述 變成 將id。T。id(v)=T(v)以f'1~f'm描述的係數變化」

4. 幾何觀點

在我修課(線代)的那個時候，dual space和dual basis是很沒有用的東西
但是我覺得我對這個的看法反而在代導被康老啟發了，在那之前我們先來看：

＊什麼是矩陣A的轉置矩陣 tA ?

我們的認知絕對不可以只是把矩陣的行列換過來寫
回憶剛剛的圖表
矩陣A是把一個線性寫像 T:V→W 分別選定基底後的係數表示

有 T(ej) = Σfk*akj
            k

我們能不能找到一種通用的方法、對應的東西
可以有 變換(基底1) = Σ基底2*ajk  ?
                      k
答案就是用對偶空間來描述：

＊ 對於T:V→W 先畫出

     T
 V  →  W
e1     f1
 : [A]  :
en     fm

 我們可以決定T*:V*→W* 有以下關係

     T*
 V*  →   W*
e*1      f*1
 :   [B]  :
e*n      f*m

若V是一個over K 的向量空間，則V*是對應V的對偶空間
元素都是「把V對到K的線性轉換」即V* = Hom_K(V,K)

而e*i則是一個 把ei對到1, 其他基底都對到0的 線性轉換
我們把這種東西叫做 linear functional...依此類推f*j

譬如說若 v  = 5e1 + 3e2 + 2e4
則   e*1(v) = 5*1 + 3*0 + 2*0 = 5
     e*4(v) = 5*0 + 3*0 + 2*1 = 2

可以硬寫開來證明這樣產生的係數變化的矩陣B就是 tA !

而我們就可以把矩陣轉置著寫想成對偶空間上發生的事情。

＊而我們用幾何的觀點來看r-rk等於c-rk這件事情就是:

  r-rk(T)
= r-rk(A)  因為row rank is well defined
= c-rk(tA) 直接把它從另一個方向來數maximal LI set
= dim(im(T*)) 由幾何定義的rank得來
= dim(T*(W*)) 其中T*(W*)為W*的子空間
= dim(V*) - dim(T*(W*)⊥) 因 dimV* = dimU* + dimU*⊥
= dim(V) - dim(ker(T)) 因 dimV = dimV* 且 ker(T) = T*(W*)⊥
= dim(im(T)) 由rank equation
= c-rk(A)
= c-rk(T)

這中間發生了三件奧妙的事情:

(a) Rank Equation: dim V = dim(im(T)) + dim(ker(T))
(b) 若U*為W*的子空間 則 dimV* = dimU* + dimU*⊥
(c) ker(T) = T*(W*)⊥

前兩件事情可以紮實的由定義算出來
(或是說用Steinitz的方法來換基底之類的)
第三件事情可以由定義檢驗它是對的
但是說實在我也還沒有很明白中間的insight為何
至少我看來它把看「關係不明確的V和對偶空間V*」連結了起來

5.所以我們有三種觀點:

(a) 對寫成方塊狀的數字，我們可以把它按照規則動一動
    變成一個樣子 然後指著它說c-rk = r-rk
    (但是不知道自己在講什麼東西)

(b) 看著擺成方塊的數字，真實的看到了兩邊的基底和中間的關係
    我們可以分別找到兩組基底，T這個變換在共rank個方向上
    各別可以把那個方向的向量伸長且不會轉到別的方向去
    延伸下去就是對角化的概念!

(c) 看著兩邊的基底和其中的關係，想到了對應的對偶空間
    把「從另一個方向來數」看作了對偶空間上發生的事情
    再藉由良好的定義基底讓等式成立
    (說實在的我還沒有看透insight)

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如果今天去問大學生「你會不會說明 row rank = column rank?」
可能很多人都會認為這是件trivial的事情

但是這個看起來trivial的事情對我來講意義很深刻
有點誇張的是，當我第一次了解dual space在幹麼的時候
是有點激動的 好像開了通往另一個世界的窗戶一樣
跨過這個窗戶究竟是一個新世界還是狹窄的小房間我並不清楚
(好像後者的可能性比較大 xD)
但是騙不了自己的是我那時候激動了一下

有如蚍蜉撼樹

後記:

其實我跳過了 「若U*為W*的子空間 則 dimV* = dimU* + dimU*⊥」的說明
因為跟本文不太有關係，但是我還是補一下：

我們可以定義 操作<˙,˙>如下:

 V x V*  →   K
(v , f )|→ = f(v)
若U*為W*的子空間 則 U*⊥ = {v in V| = 0 for all g in U*}